Вопросы к экзамену по математике 1курс зима 2011
Теория
Матрицы
Матрицы и действия над ними (сложение матриц, умножение матриц на число, произведение матриц)
Обратная матрица. Ее нахождение
Определители второго порядка и третьего порядка и их свойства (док-во).
Решение системы линейных уравнений. Формулы Крамера
Решение систем линейных уравнений с помощью матриц.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Скалярное произведение двух векторов и его свойства (док-во) Скалярное произведение двух векторов в координатной форме (вывод).
Векторное произведение двух векторов. Определение. Условие коллинеарности двух векторов
Выражение векторного произведения двух векторов через координаты векторов-сомножителей (вывод).
Деление отрезка в данном отношении (вывод). Примеры
Вывести уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно данному вектору.
Исследование общего уравнения плоскости
Общее уравнение прямой линии в пространстве. Приведение их к каноническому виду.
Расстояние от точки до плоскости (вывод). Канонические и параметрические уравнения прямой линии в пространстве (вывод).
Уравнение прямой на плоскости и в пространстве, проходящей через две точки (вывод) Угол между прямой линией и плоскостью в пространстве
Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей (вывод).
Два основных уравнения прямой линии на плоскости (вывод).
Вывести каноническое уравнение прямой линии на плоскости и уравнение прямой линии на плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору.
Общее уравнение прямой линии на плоскости и его частные виды.
Вычисление угла между прямыми линиями на плоскости (для прямых, заданных уравнениями различных видов).
Кривые 2 порядка
Гипербола. Определение, каноническое уравнение (вывод). Исследование канонического уравнения гиперболы. Эксцентриситет гиперболы..
Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения параболы. Исследование канонического уравнения параболы. Построение параболы. Пример.
Уравнение окружности в декартовых координатах, в полярных координатах и параметрические уравнения окружности
Исследование канонического уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
Математический анализ
Необходимое и достаточное условие существования предела функции (док-во).
Бесконечно малые функции. Теоремы о бесконечно малых (доказать одну из теорем).
Теоремы о пределах. Доказать одну из них.
Первый замечательный предел (доказательство)
Непрерывность функции y=f(x) в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (без док-ва).
Понятие производной функции y=f(x) и ее геометрический смысл. Вывод производной степенной функции
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции y=f(x) в точке (док-во).
Производная функций y=tg(x), y=ctg(x) (вывод).
Производная логарифмической функции (вывод).
Вывод производной показательной функции
Основные правила дифференцирования (вывод производной произведения или частного).
Производная сложной функции (вывод). Дифференцирование функции, заданной не явно (правило). Примеры
Обратная функция и ее производная. Вывод производной функции y=arctg(x). 
Функции, заданные параметрически. Производная функции, заданной параметрически (вывод). Параметрические уравнения эллипса
Дифференциал функции y=f(x). Определение и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала первого порядка (док-во).
Теорема Ролля и ее геометрический смысл.
Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл.
Достаточное условие возрастания функции y=f(x) на интервале (док-во)
Экстремум функции f(x). Определение, необходимое и достаточное условие экстремума (док-во).
Определение выпуклости и вогнутости графика функции y=f(x) на [a,b].Достаточное условие выпуклости графика функции y=f(x) на [a, b]. Пример.
Точки перегиба графика функции y=f(x). Определение. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба графика функции. Примеры
Асимптоты графика функции f(x). Определение. Нахождение вертикальных и горизонтальных асимптот. Привести примеры функций, имеющих вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
Задачи
Матрицы
Задана функция 
– квадратный трехчлен и дана матрица А(2х2). Найти значение матричного многочлена f(A)
Найти матрицу, обратную матрице (3х3)
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Проекция вектора на ось
Вычислить длины диагоналей, найти косинус угла между диагоналями и площадь параллелограмма, построенного на векторах
Проекция точки на плоскость
Площадь треугольника с вершинами
Составить канонические уравнения высоты пирамиды
Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
Уравнение прямой в пространстве
Составить уравнение высоты и медианы в треугольнике
Уравнение прямой, проведенной через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку
уравнение плоскости, проходящей через точку и через прямую
Составить канонические уравнения прямой линии, проходящей через точку пересечения прямой с плоскостью, перпендикулярно к данной плоскости.
В треугольнике ABС найти расстояние от вершины С до медианы, проведенной из вершины А
Кривые 2 порядка
Уравнения асимптот гиперболы
Уравнение перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы или гиперболы или центра окружности на прямую (сделать чертеж).
Уравнение прямой, соединяющей точку и вершину параболы и найти расстояние от ее фокуса до оси Ох..
Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую
Математический анализ
Предел
Уравнение касательной и нормали к данной линии в точке.
Интервалы монотонности и экстремум
Точки перегиба графика функции
Асимптоты графика