Рассмотрим систему 
функций 
(с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
Составим ряд
,
где 
– комплексная переменная. Предположим, что при каждом 
(принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность 
. В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
(16)
(где x лежит в области определения функций системы , – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .
Обратно, пусть задана функция 
, где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :
,
найдем, что система коэффициентов 
этого ряда будет искомой системой .
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим:
. (17)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами 
(
…) производящая функция есть:
.
Имеем:
, 
,
откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме 
и 
были связаны зависимостью 
, то мы могли положить 
, получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых 
, следовательно, при 
это будет 
; при 
это будет 
. Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (5`) и (5```). Итак,
, (18)
но это и доказывает, что 
есть производящая функция для системы .
Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней 
, получим:
,
откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что 
)
(18`)
(18``)
Заменяя в (18`) и (18``) 
на 
, найдем:
, (18```)
. (18````)
Интегральное представление Jn(x)
Так как, по доказанному, при 
имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
где принято во внимание, что 
есть четная функция от 
есть нечетная функция от 
. Итак, доказано, что для любого целого числа 
. (19)
Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при 
найдем:
. (19`)
Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале 
(конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения
, 
, (20)
где 
и 
– непрерывные функции на . Пусть 
и – ненулевые решения этих уравнений. Умножение на и на и последующее вычитание дают
.
Пусть 
и 
принадлежат и 
, тогда после интегрирования в пределах от до получим
. (21)
Если и – соседние нули решения 
, то между и сохраняет постоянный знак, пусть, например, 
на (, ) (в противном случае следует заменить на 
), тогда 
, 
(равенство нулю исключено, так как – ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на 
, то должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между и , так как иначе сохранит постоянный знак на (, ). Пусть, например, 
на (, ) (в противном случае заменяем на 
), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если 
на , то каждое ненулевое решение уравнения 
может иметь на не более одного нуля (это легко видеть, если положить 
и взять 
). Если 
на (где 
), то для всяких двух соседних нулей и (
) каждого ненулевого решения уравнения имеем 
(это легко видеть, если положить 
, взять 
и заметить, что нулями будут только числа вида 
, целое). Если 
на (где 
), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения 
имеем 
(это легко видеть, если положить 
и взять 
). Из сказанного следует, что если 
на , то для всяких двух соседних нулей и () каждого ненулевого решения уравнения имеем 
.
Изложенное показывает, что если 
непрерывна на 
и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение уравнения имеет на бесконечно много нулей. Если еще вблизи 
не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность 
, имеющую пределом +∞, а если, кроме того, 
, где 
, то 
.
Рассмотрим уравнение Бесселя
на интервале 
. Подстановка 
приводит к уравнению
.
Очевидно, и имеют одни и те же нули. Так как 
, где 
– целая функция, то 
не имеет нулей на 
при достаточно малом 
, и так как 
при 
, то при каждом 
нули на образуют бесконечную возрастающую последовательность
причем 
.
Если 
, то 
удовлетворит уравнению
на интервале (0, +∞). Подстановка приводит к уравнению
и, следовательно, 
удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных и имеем
, где 
,
, где 
,
откуда
,
следовательно,
, где 
. (22)
Пусть теперь 
. Разложение 
по степеням начинается с члена, содержащего 
, разложение 
по степеням начинается с члена, содержащего 
, так как коэффициент при 
равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при 
получим
,
то есть
, (23)
откуда видно, что если и являются разными нулями функции , то
. (23`)
Этим доказано, что при система функций
на интервале 
является ортогональной относительно веса 
.
Переходя к пределу при 
в соотношении
и используя правило Лопиталя, получим при всяком 
, (24)
следовательно, если является нулем функции , то
. (24`)
Таким образом, при каждом всякой непрерывной функции 
на , удовлетворяющей требованию
,
поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя
, (25)
коэффициенты которого определяются формулами
. (25`)
Можно доказать, что система функций 
на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .
Можно показать, что если 
и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при 
.
Свойства
Асимптотика
Для функций Бесселя известны асимптотические формулы. При маленьких аргументах 
и неотрицательных α они выглядят так: 
,
где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а Γ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов (
) формулы выглядят так:
Гипергеометрический ряд
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию: 
Таким образом, при целых n функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Производящая функция
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно 