Порядок исследования функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции.

1. Находим область определения функции.

2. Вычисляем первую и вторую производные функции.

3. Определяем критические точки второго рода.

4. Область определения функции разбиваем критическими точками второго рода на промежутки и определяем знак второй производной на каждом промежутке.

5. Делаем выводы о выпуклости или вогнутости графика функции и существовании точек перегиба.

10.6

Очень часто приходится исследовать формулу кривой , а значит, и характер изменения соответствующей функции при неограниченном возрастании абсциссы или ординаты переменной точки кривой. При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении её переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю.

Различают асимптоты вертикальные (параллельные оси Ox) и наклонные (не параллельные оси Ox).

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов является бесконечным.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если эта функция представима в виде

, где .

Наклонную асимптоту ищем в виде , где .

10.7

Отметим, примерный план исследования функции.

1. Находим область определения функции.

2. Исследуем функцию на четность-нечетность, периодичность.

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции.

4. Определяем точки разрыва функции и поведение функции вблизи точек разрыва. Находим вертикальные асимптоты к графику функции.

5. Выясняем поведение функции на бесконечности.

6. Находим наклонные асимптоты к графику функции.

7. Исследуем функцию на возрастание-убывание и экстремумы.

8. Выясняем вопрос о выпуклости и вогнутости графика функции, находим точки перегиба.

9. В случае необходимости находим дополнительные точки и согласно с проведённым исследованием строим график функции.

Пример. Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

1. Найдем область определения: .

2. Исследуем функцию на четность: так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Исследуем функцию на периодичность: ни для какого , кроме , следовательно, функция не является периодической.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью : полагаем , тогда , имеем точку .

С осью : полагаем , тогда , т.е. , имеем точки и .

Разбиваем область определения функции точками пересечения с осью на промежутки. Определим интервалы знакопостоянства функции.

Результаты занесем в таблицу:

		-2
	-		+		-	+

4. Точки разрыва: .

Определим поведение функции вблизи точки разрыва слева и справа: и .

Прямая - вертикальная асимптота к графику функции.

5. Исследуем поведение функции на бесконечности:

.

6. Найдем наклонные асимптоты графика функции:

Наклонную асимптоту ищем в виде , где

, .

Таким образом, - уравнение наклонной асимптоты, эта прямая проходит через точки

7. Исследуем функцию на возрастание – убывание и экстремумы.

Найдем первую производную:

Далее ищем критические точки: так как производная данной функции существует везде в области определения функции, то критические точки определяются только из условия , - критические точки.

Критические точки разбивает область определения функции на промежутки:

Определяем знак производной на каждом из промежутков, результаты заносим в таблицу и делаем вывод о поведении функции и существовании экстремумов.

	+		-	-		+
		max			min

.

.

8. Исследуем функцию на выпуклость-вогнутость и перегибы. Найдем вторую производную:

.

Ищем точки, принадлежащие области определения, в которых или не существует.

Так как вторая производная существует везде в области определения и нигде не обращается в ноль, то определяем знак второй производной на промежутках области определения и результаты заносим в таблицу.

Делаем выводы о выпуклости-вогнутости функции. Точек перегиба функция очевидно не имеет.

	-	+

9. С помощью проведенного исследования по полученным данным строим график данной функции (Рисунок 10.2). Для удобства изображения масштаб по осям был взят разный.

Замечание. Был указан примерный план исследования функции. Некоторые из пунктов могут быть переставлены местами, если это не противоречит логике исследования. Кроме того в отдельных случаях некоторые пункты исследования могут быть опущены (например, если при нахождении нулей функции приходится решать уравнение выше второй степени).