Задачи как средство обучения

Тема 6. Роль и место задач в обучении математике

В обучении математике задачи могут выполнять одну или несколько образовательных функций.

Виды образовательных функций	Виды задач
1. Обучающая функция состоит в организации учебной деятельности учащихся, необходимой для формирования отдельных компонент содержания образования	Упражнение
2. Практическая функция состоит в формировании личного опыта учащихся в осуществлении деятельности по решению различных проблем (прикладных, практических, познавательных и др.) на основе актуального уровня содержания образования	Практические, прикладные, исследовательские, творческие
3. Воспитывающая функция состоит в оказании корректирующих воздействий фабулы задачи и процесса ее решения на личностную сферу учащихся (эмоционально-волевую, морально-этическую, поведенческую, коммуникативную)	Воспитывающие
4. Развивающая функция задач состоит в оказании влияния деятельности по решению задач на совершенствование интеллектуальных возможностей учащихся	Развивающие
5. Контролирующая функция состоит в диагностических возможностях результатов решения задач (успешности решения, характера совершенных учащимися ошибок, рациональности решения, полноте и грамотности обоснования решения и др.)	Диагностические

Указанные виды задач достаточно условны, т.к. в зависимости от места задачи в учебном процессе, знаний учащихся, способа решения и методики организации работы функции могут меняться.

Например,задача «Установить, слева или справа от нуля на числовой прямой, и на каком расстоянии находится результат сложения чисел: а) 5+ (–7); б) – 2,13+7,2; в) » может выполнять:

· Контролирующая функцию – служить средством проверки знаний и умений учащихся, связанных с использованием правила сложения чисел с разными знаками с помощью числового луча (если задача предложена учащимся для самостоятельного решения после изучения соответствующей темы);

· Обучающая функцию – служить средством вскрытия перед учащимися расширения границ собственных возможностей после ознакомления с правилом сложения чисел с разными знаками, т.к. ее решение демонстрирует учащимся возможность нахождения ответа в задаче о расположении числа на прямой без построения (если задача предложена учащимся после ознакомления с соответствующим правилом и методика работы учителя ориентирует учащихся на раскрытие и использование геометрического смысла результата действия, полученного аналитически).

В практике обучения выделение образовательных функций задач является отправной точкой для отбора задачного материала, выносимого на урок, и определения особенностей методики работы с задачей.

Если говорить о месте математических задач в методической системе, то можно выделить два вида задач: задачи, являющиеся средством обучения, и задачи, являющиеся предметом изучения. Ведущая функция задач первого вида – обучающая; ведущая функция задач второго вида – практическая.

 

Задачи как средство обучения

Задачи в учебном процессе называют упражнениями, т.к. в традиционном представлении процесс их решения представлялся как процесс тренировки в осуществлении какие-либо математических действий (вычислительных, измерительных, конструктивных, логических).

В учебном процессе образовательное значение имеют упражнения не сами по себе, а их взаимосвязанные комплексы – системы упражнений.

Def_1. Системой упражнения называется совокупность взаимосвязанных упражнений, предназначенная для достижения определенной образовательной цели посредством включения учащихся в посильную учебную деятельность адекватную процессу усвоения намеченного компонента содержания образования.

Требования к системе упражнений:

· целенаправленность каждого упражнения системы;

· полнота;

· посильность;

· преемственность в уровнях сложности компонентов системы.

Объединяя упражнения в систему, их можно рассматривать уже не только как средства обучения, но и как особую форму метода обучения. Эта возможность была подмечена еще в конце XIX века известным русским методистом С.И. Шохором-Троцким, который ввел в методическую науку термин «Метод целесообразных задач». Поясняя суть метода, он писал: «Задачи должны служить точкой исхода преподавания, а не средством дрессировки учащихся в определенном направлении».

Def_2. Упражнением в МОМ называется всякая математическая задача, если ее прямым продуктом является не изменение в задачной ситуации, а изменения в личности ученика (приобретение, совершенствование знаний, умений и навыков).

Определение не ограничивает образовательные функции упражнений формированием специальных математических умений и навыков. В число упражнений включаются и те математические задачи, которые используются в качестве средств

- Мотивации изучения нового;

- Подведения учащихся к открытию нового;

- Упражнения, включающие учащихся в осмысление нового;

- Раскрытие способов использования теоретического знания;

- Формирование опыта творческой деятельности, эмоционально-ценностных отношений и т.д;

 

Основные признаки упражнения:

· являться носителем действий, адекватных содержанию математического образования;

· являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков;

· быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся;

· являться одной из форм реализации методов обучения;

· служить средством связи теории с практикой.

Задание 1. Пользуясь определением понятия “упражнение” и перечисленными признаками, определите, какую из данных задач можно считать упражнением:

1) Сформулируйте определение понятия “расстояние между двумя фигурами” так, чтобы определения известных понятий: “расстояние между двумя точками”, “расстояние от данной точки до прямой”, “расстояние между параллельными прямыми” и др. – оказались бы его частными случаями.

2) В прямоугольном параллелепипеде АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁ на ребре А ₁ В ₁ взята точка Р – середина этого ребра, а на ребре АD точка Q, такая, что АQ: AD = 2: 3. Считая, что АВ = АА ₁ = а, АD = 3 а, найти расстояние от вершины D₁ до прямой РQ.

Система упражнений служит формой проявления практически всех общедидактических методов обучения, в которых активность учащихся вызывается и контролируется учителем (за исключением метода наводящих вопросов и метода опроса).

Конструирование систем упражнений осуществляется с учетом:

1) общих этапов формирования нового элемента содержания образования в процессе психической переработки соответствующих элементов содержания обучения;

2) избранных специальных методов обучения, как определяющих логику развертывания содержания во взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся;

3) представлений о результатах формирования нового элемента содержания образования;

4) видов учебной деятельности, в которые должны быть включены учащиеся для реализации этих этапов в логике, определенной специальным методом, с целью достижения желаемого результата.

Пример. Конструирование системы упражнений состоит из трех этапов: подготовительного, основного и закрепления. Результатом этого процесса должны являться:

1) сформированность чувственного образа математического понятия (предпонятия), включающего осознание мотивов его введения, знаний об объектах относящихся и не относящихся к понятию, особенностях связи с предшествующими понятиями;

2) сформированность системы взаимосвязанных суждений о понятии, раскрывающих свойства, признаки понятия и связи его другими понятиями;

3) сформированность опыта использования системы суждений о понятии в различных видах деятельности.

 

Процесс формирования математических понятий через системы упражнений:

Этапы	Структура системы упражнений
Конкретно-индуктивной (от предпонятия к понятию)	Абстрактно-дедуктивной (от понятия к предпонятию)
Подготовительный	Упражнения, воспроизводящие исторические ситуации возникновения понятий. Упражнения практического характера, показывающие недостаточность понятийного аппарата. Упражнение на поиск логической зависимости между известными понятиями и новым	Упражнения, демонстрирующие недостаточность ранее изученных понятий. Упражнения на повторение базовых понятий для восприятия определения нового понятия.
Основной	Упражнения на формулировку определения понятия и ее корректировку с помощью примеров и контрпримеров. Упражнения на разработку терминологии и символики соответствующей понятию. Система упражнений на выведение следствий из определения и последующих суждений о понятии	Упражнение на распознавание объектов по определению. Упражнения на иллюстрацию определения понятия примерами. Упражнения на усвоение терминологии и символики. Упражнения на переформулировку определения понятия. Система упражнений на усвоение суждений, выводимых из определения понятия
Закрепление	Упражнения на воспроизведение определения понятия. Упражнения на подготовку определения понятия к применению. Упражнения на применения понятия в различных ситуациях. Упражнения на переосмысление понятия с точки зрения других понятий. Упражнение на формулировку других определений понятия и доказательство их эквивалентности. Упражнения на составление родословной понятия. Упражнения на систематизацию суждений о понятии.

Задание. В ШКМ реализуются различные способы ведения понятий: через определение; через описание; путем многократного переопределения. Кроме того, изучаются понятия различных уровней абстракции: понятия модельной природы; понятия, являющиеся абстракцией от математических понятий модельной природы; и понятия, различающиеся по природе: понятия объекты, понятия методы и двойственной природы. Перечислите, какие изменения необходимо внести в систему упражнений при применении ее к указанным видам понятий.

В упражнении образовательное значение имеет не результат, а процесс решения задачи, поэтому методика работы с ним не ограничивается управлением деятельностью учащихся по получению результата.

Методика работы с любым упражнением должна состоять из трех этапов:

1) Мотивация необходимости выполнения данного упражнения, через ознакомление с его образовательной функцией

2) Управление деятельностью учащихся по выполнению упражнения

3) Рефлексивный анализ процесса работы с упражнением

Пример. Методика работы с упражнением примера 1 при выполнении им обучающей функции.

1. Полученное нами правило сложение чисел с противоположными знаками позволяет определять место положения результата сложения на числовой прямой без непосредственных построений. Для того, чтобы в этом убедиться решим задачу № …

2. Пользуясь новым правилом, найдите сумму данных чисел. Что говорит о расположении на числовой прямой результата его знак (модуль)?

3. Выполняя это задание, узнали, что новое правило позволяет не только находить без числовой прямой сумму чисел с противоположными знаками, но и находить место результата сложения на этой прямой без построения.

 

2.Задачи как предмет изучения математики

Формирование умений решать математические задачи является одной из важнейших целей обучения математике. Ее достижение может осуществляться в различной степени. Уровень обязательного минимума обучения решению задач составляют умения решать «стандартные» задачи, т.е. те, для которых разработаны общие правила решения. Повышенный уровень обучения решению задач характеризуется умением решать «нестандартные задачи», т.е. те, для которых не разработаны (или не известны) общие правила решения.

Правила решения стандартных задач могут быть предъявлены учащимся в различной форме:

- В виде словестного описания, пошагового осуществления действий, т.е алгоритма;

- В виде формулы, тождества, теоремы или определения

 

Задание 3. Сформулируйте правила решения стандартных математических задач, в том виде, в котором они предъявляются учащимся в ШКМ:

1) Представить в виде алгебраической дроби сумму . (правило сложения алгебраических дробей)

2) Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100 м. Через сколько времени Миша догонит Борю, если скорость Миши 80 м/мин, а Бори – 60 м/мин?

3) Разложите многочлен на множители.

Решение:

Формула разность квадратов, квадрат разности

Свойство степеней (9y^2)

4) Установите, могут ли точки А (–3; 2), В (15; 6) и С (7; 3) являться вершинами треугольника? (правило треугольника)

Решение: длины сторон

Определить большую длину

Найти сумму двух других отрезков

Особенности процесса решения задач:

Этапы работы с задачей	Особенности их реализации при работе
со стандартной задачей	с нестандартной задачей
Анализ условия задачи	Выделение существенных данных для распознавания вида задачи и специфических данных	Выделение данных для создания образа задачной ситуации, облегчающего установление связей ее со стандартными задачами
Поиск способа решения	Установление по виду задачи алгоритма ее решения на основе метода классификации	Установление отношения между данной задачей и стандартными задачами (отношения эквивалентности, изоморфизма или порядка) посредством соответствующих методов поиска (инверсия, аналогия или формулировка вспомогательных задач)
Реализация найденного способа решения	Реализация найденного алгоритма применительно к специфическим данным задачи	Использование установленного отношения для сведения данной задачи к стандартным одним из методов: равносильных задач, переформулировка, подстановка подзадачи и т.д Затем для ее решения применяются известные алгоритмы
Исследование результата решения	Проверка правильности применения алгоритма к данным задачи	Проверка полноты аргументации сведения данной задачи к стандартным, правильности применения алгоритмов, соответствия результатов требованию задачи и ее данным

Наиболее трудный (образовательно-значимым) этап работы со стандартной задачей реализация найденного способа решения, а нестандартной задачи – поиск способа решения

В методической литературе описываются различные подходы к обучению решению задач.

Название	Суть методики	Результаты
Методика выполнения типовых задач	1. Все задачи подлежащие изучению классифицируются. 2. Для каждого вида задач разрабатывается типовой метод решения. 3. Формируются умения применять типовой способ решения с помощью системы упражнений по работе с алгоритмами	Позволяет достичь обязательных результатов обучения, представленных в форме стандартных задач
Методика выделения ключевых задач	1. Во множестве задач, подлежащих изучению, выделятся «задачный базис» – система ключевых задач. 2. Умение решать ключевые задачи формируется на основе системы упражнений (1). 3. Формируется умение применять способы решения ключевых задач к задачам комбинированного типа на основе использования метода сведения к подзадачам	Позволяет достичь повышенного уровня обучения, представленного в виде системы нестандартных задач, являющихся комбинациями стандартных
Методика формирования обобщенных приемов деятельности	1. Осуществляется методологический анализ деятельности по решению задач подлежащих усвоению. 2. Приемы деятельности ранжируются по степени общности. 3. Умение применять специфические приемы деятельности формируется с помощью (1). 4. Уч-ся включаются в деятельность решения задач, требующих применения наряду со специальными все более общих приемов	Позволяет формировать целостную ориентировочную основу деятельности по решению задач

Основу любой из рассмотренных выше методик составляет методика обучения алгоритмам осуществления математических действий.

Технологическая цепочка (методическая схема) работы с алгоритмом состоит из трех этапов, каждый из которых реализуется через задачи-упражнения.

Названия этапов	Содержание этапов
Подготовительный	Актуализация базовых знаний для введения алгоритма и имеющихся умений осуществлять действия входящие в состав алгоритма. Мотивация необходимости введения нового алгоритма.
Основной	Ознакомление с теоретической основной и структурой алгоритма (введение алгоритма). Формирование умений осуществлять новые шаги алгоритма. Формирование умений осуществлять новые шаги алгоритма в комплексе с ранее сформированными умениями, входящими в структуру алгоритма (пошаговая отработка алгоритма). Формирование умений применять алгоритма к решению различных задач (целостная отработка алгоритма)
Закрепление	Формирование умений применять алгоритм в сочетании с другими, ранее усвоенными алгоритмами

: