Глава 2. Простейшие преобразования графиков

Введение

Трудно найти область науки или деятельности человека, где бы ни использовались графики. Всем нам приходилось видеть график роста ВВП страны, ВС страны, графики суточных или годовых изменений температуры, атмосферного давления и т. графики такого типа обычно строятся по данным составленных таблиц и используются для лучшего визуального анализа. На уроках математики мы обычно строим графики элементарных функций аналогичным методом, однако таблицы значений строятся в основном из приведенных формул, выражающих определенную зависимость, а не из полученных статистических данных. Потребность в подобных графиках, полученных из формул, возникает не только в математике. Так, например, анализируя теоретический ход будущего физического процесса, ученый получает формулу зависимости, позволяет находить зависимость одной величины относительно другой. Однако, только построив график по этой формуле, можно наглядно спрогнозировать будущий процесс, выраженный этой формуле, и внести соответствующие изменения в процесс для его улучшения. [4]

Однако построение графиков сложных функций по точкам, полученным из соответствующих формул, обычно не является рациональной, поскольку выбор точек не всегда может охватить все особенности графика. Поэтому меня заинтересовала построение графиков сложных функций с помощью анализа функции и использование элементарных графических преобразований графиков известных всем функций (параболы, гиперболы, линейной функции т.д.), с помощью которых можно построить намного сложнее и интереснее графики.

Стоит сказать также и об интересе самого процесса построения графиков, ведь построение графиков - одна из самых интересных тем в математике. Один из известных математиков нашего времени И. М. Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описан в геометрические образы. Это построение графиков - является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются.... Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию - является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с Вами на всю жизнь, подобно умение ездить на велосипеде, печатать на машинке или водит машину ». Поэтому меня и заинтересовали графики, как предмет исследования, т. к. работа с ними приносит как практическую, так и эстетическую пользу инаслаждение.

Цель работы: проанализировать возможность графики элементарных функций и возможности их построения.

Актуальность работы: анализ функций и построение их графиков, необходимые для качественного исследования свойств и поведения зависимостей между величинами, т. к. график дает наглядную общую картину положения и развития исследуемого явления, позволяет визуально заметить те закономерности, содержит числовая информация.

При выполнении работы были поставлены следующие задачи: 1) построить графики функций элементарными методами; 2) научиться строить схематически графики функций, анализируя их свойства и поведение; 3) исследовать методы построения графиков; 4) расширить свои из практического использования в математике.

При выполнении работы были достигнуты следующие результаты: 1) Выполняя построение различных графиков функций, были рассмотрены общие принципы исследования функции и построения их графиков; 2) было рассмотрено комплексное применение различных методов построения графиков функций; 3) Были рассмотрены сложные функции и выполнены построения соответствующих графиков. 4) Выполняя работу, мною были получены более глубокие знания по анализу и графического построения функций. 5) Данная научная работа может быть использована учащимися, для получения дополнительных знаний о построении графиков функций и учителями математики при проведении факультативных занятий.

Глава 1. Общие сведения об элементарных функциях.

Функция и ее свойства

Величина называется переменной (постоянной), если в условиях данной задачи она приобретает различные (только одного) значений.

Рассмотрим две переменные величины и .

Определения. Функцией y = f (x) называется такое соответствие между множествами D и E, при которой каждому значению переменной х соответствует одно и только одно значение переменной у. При этом считают, что:

х - независимая переменная, или аргумент;

y - зависимая переменная, или функция;

f - символ закона соответствия;

D - область определения функции;

Е - множество значений функции.

Определение. Числовой функцией с областью определения х называется зависимость, при которой каждому числовому значению х из множества Х ставится в соответствие единственное некоторое число у. Обозначают функцию у = f (х). Переменную х называют независимой переменной или аргументом, переменную у - зависимой переменной или функцией.

Определения. Областью определения функции называется множество значений, которые приобретает независимая переменная х. Сказывается D (f).

Определения. Областью значений функции называется множество значений, которые приобретает зависимая переменная y при всех значениях х из области определения функции. Сказывается Е (f). Определения. Графиком функции у = f (x) называется множество точек М (х, f (x)) координатной плоскости, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты являются соответствующими значениями этой функции. [6]

Пример: Найти область определения функций:

1)

2) .

Решение.

1) Поскольку выражение, стоящее под знаком квадратного корня не может быть отрицательным, то чтобы найти область определения функции решим неравенство: х-1≥0 х≥1 Итак, D (f) = [1; + ∞].

2) Делит на ноль нельзя, поэтому область определения функции равна D (f) = (- ∞; 0) Ụ (0; + ∞).

Различают следующие способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.

Элементарные функции

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1. Линейная функция y = ax + b, де a, b? R.(рис 1.1.)

Рисунок 1.1 Линейная функция

2. Степенная функции

Область определения функции и ее график зависят от значения α (рис. 1.2). Пусть, α=n целое отрицательное число. Тогда

Глава 2. Простейшие преобразования графиков

Паралельный перенос

Чтобы построить график функции, надо определить положениевсех его точек относительно некоторой системы координат Oxy. Однако в общем случае это сделать нельзя, поскольку подавляющее большинствографиков функций имеет бесконечное множество точек.

Обычно, строя «вручную» приближенно эскиз графика функции, определяют достаточно большое количество «близких» между собой точек графика.

Далее, на основании соответствующих свойств данной функции, эти точкипоследовательно соединяют одной или несколькими «плавными» линиями.

В элементарной математике много важных свойств функций не изучают. Средствами элементарной математики удается осуществлять построения графиков функций только в простейших случаях. [4]

Найти график функции , выясним, как выглядит график функции , гдеa=const.

Если a >0, то функция  приобретает те х же значений, что и функция , но для значений x, больших на a. Поэтому график имеет ту же форму, что и график , однако он сдвинутый относительно графика в положительном направлении оси Ox на a одиниц.

3. Если a<0, то график функции сдвинут относительно графика в отрицательном направлении оси Ox на (-a) единиц.

4. Итак, чтобы построить график график паралельно переносят вдоль оси Ox на a (влево для a < 0, вправо a>0) (рис.2.1)

Рис. 2.1. Параллельный перенос графика вдоль оси Ox

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат

При тех же значениях x значение функции отличаются от значений функции на число b.

Если b>0, то значение  больше от значений на b, а если b<0, то – меньше значений на(-b). [1]

3. Итак, чтобы построить играфик график параллельно переносят вдоль оси Oy на b (вниз для b<0, вверх для b>0).

Рис. 2.2. Параллельный перенос графика вдоль оси Oy