Элементы теории нечетких множеств

Лабораторная работа № 4

”Изучение пакета Fuzzy Logic Toolbox системы MATLAB 7 и
его применения для проектирования
систем нечеткого (фаззи) регулирования”

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Изучить основы нечеткой или фаззи-логики.

2. Изучить пакет Fuzzy Logic (Фаззи-логика) системы MATLAB 7.

3. Исследовать сравнительные характеристики СУ с обычными и фаззи-регулято­рами в среде системы MATLAB 7.

МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Открыть рабочее окно программы MATLAB 7.

2. Изучая теоретические сведения о пакете Fuzzy Logic, при необходимости вводить в рабочем окне команды, приводимые в описании пакета и выделенные желтым цветом.

3. Закончив изучение теоретических сведений о пакете Fuzzy Logic, выполнить задание по моделированию СУ.

Теоретические сведения

В последние годы в автоматике, компьютерной технике, теории принятия решений, системах искусственного интеллекта используются модели и методы, основанные на теории нечетких множеств (ТНМ). Она возникла на стыке математической теории множеств и математической логики в середине 70-х годов. Ее первые основы были сформулированы в 1965 году американским математиком Л. Заде статье «Fuzzy Sets», название которой переводится на русский язык как «нечеткие множества». Слово «fuzzy” имеет несколько значений («неопределенный», «неясный», «смутный», «нечеткий»), из которых наибольшее распространение в русском языке получил перевод «нечеткий». В зарубежной технической литературе это слово вошло в употребление без перевода, в первоначальном, латинском написании «fuzzy». У нас в стране используется наряду с понятием «нечеткий» слово «фаззи».

После появления публикации Л. Заде многие ученые стали интересоваться возможными приложениями ТНМ к практическим задачам. Благодаря дальнейшим разработкам и публикациям Л. Заде, Е. Мамдани, М. Сугено, выявился целый спектр возможностей применения ТНМ для задач принятия решений и управления, в которых объект и условия его функционирования недостаточно изучены, модель объекта и цель управления слабо формализованы. Постепенно сформировалась совокупность методов и приемов использования ТНМ, которую называют фаззи-технологией или фаззи-методоло­ги­ей. Оказалось, что она эффективна для управления не только cлa6o структурированными объектами, но и хорошо изученными, имеющими строгое математическое описание.

Одновременно развивались новые направления науки, в которых так же, как и в фаззи-технологии, использовались знания, опыт и интуиция специалистов в данной области. К этим направлениям относятся экспертные системы, ситуационное управление, искусственные нейронные сети, системы искусственного интеллекта, системы, базирую­щиеся на знаниях (в англ. - knowlеndge-based sуstems) .

К настоящему времени фаззи-технология превратилась в мощное, весьма практичное средство синтеза систем управления. Фаззи-системы и фаззи-контроллеры применяются сегодня как для управления сложными технологическими процессами, так и для автоматизации простых бытовых приборов. В системе «MATLAB» имеется пакет программ по фаззи-логике.

Фаззи-методология в прикладных задачах автоматизации и управления служит средством достижения компромисса между двумя подходами к решению этих задач. Известно, что специалисты по автоматизации предпочитают математические модели и методы решения задач управления, а технологи, глубже чувствующие сложность автоматизируемого объекта, настороженно, а иногда и скептически относились к внешне красивым постановкам и решениям задач управления, которые потом, при реализации, оказывались не такими эффектными и эффективными. Поэтому технологи больше доверяли своему опыту и интуиции, чем строгим математическим подходам.

В философском смысле, ТНМ может рассматриваться как средство достижения консенсуса между сторонниками абсолютного детерминизма, признающими только однозначные связи и суждения (типа «да», «нет»), и сторонниками индетерминизма, ориентирующимися на стохастичность связей и выводов (типа «может быть»).

Общие сведения о фаззи-регулировании

Традиционный подход к постановке и решению задач управления и регулирования основывается на предположениях, что модель объекта управления (ОУ) известна и задана в виде передаточных функций его отдельных каналов или в форме системы дифференциальных уравнений, связывающих его входные и выходные переменные, и что при известной цели управления алгоритм функционирования управляющего устройства (УУ) однозначно предопределяется этой моделью и целью управления. Причем, решается данная задача синтеза алгоритма УУ с помощью строгих аналитических методов математики.

Однако в реальной практике автоматизации сложных технологических процессов и производств редко удается построить достаточно точную математическую модель ОУ и применить строгую однозначную процедуру синтеза алгоритма управления. Поэтому большинство функционирующих в промышленности автоматических и автоматизированных систем управления создано с использованием не только методов теории управления, но и опыта и интуиции специалистов по автоматизации, эвристических знаний технологов.

Принцип функционирования и методология построения системы фаззи-регулиро­вания показаны на схеме на рис 1.

Вся исходная информация о стратегии управления хранится в базе правил (в англ.- rule-base) в виде правил условного логического вывода «ЕСЛИ…, ТО » (в aнгл. – «IF..., THEN…»), которые формулируются на основе тщательного изучения объекта и задачи управления, путем анкетного опроса специалистов-технологов, хорошо знающих объект управления.

Центральным звеном фаззи-регулятора является блок нечёткого вывода (БНВ), или блок принятия решений (в англ. - decision making), в котором на основе нечеткой информации о сигнале ошибки регулирования e делается вывод о соответствующем нечётком множестве значений управляющего воздействия у. В блоке БНВ реализуется так называемая инференц-процедура (о ней и других понятиях подробней будет сказано в параграфах 2-4), в процессе которой агрегируются (объединяются) выводы отдельных правил об управляющем воздействии. Результатом агрегирования являются «усеченные» нечёткие множества управляющих воздействий.

В блоке нормирования (БН) измеренный четкий (в англ. – crisp)сигнал ошибки регулирования e умножением на масштабный коэффициент k _e.н.< 1 приводится к ограниченному интервалу (например, [-1,+1]). Блок фаззификации (БФ) определяет значение функции принадлежности (параграф 2), соответствующее нормированному значению e_н.

Блоки дефаззификации (БДФ) и денормирования (БДН) выполняют обратные процедуры: по нескольким «усеченным» функциям принадлежности вычисляется четкое значение нормированного управляющего воздействия у _н и соответствующее ему ненормированное значение у = у_н / k_у..н. (k_у..н < 1).

Элементы теории нечетких множеств

В математике обычное понятие «множество» определяют как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. При этом заранее, аксиоматически, предполагают, что любой элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству, а факт принадлежности или непринадлежности элемента x к множеству Х характеризуют с помощью функции m(х), которая принимает соответственно значения 1 (принадлежит) или 0 (не принадлежит). Однако во многих реальных задачах прикладных исследований и в повседневной практике такой жесткий, двузначный принцип классификации элементов недостаточно гибок для математического описания сложных явлений и процессов, не оправдан для формализации нестрогих понятий и высказываний, используемых в естественном языке. Например, такие лингвистические понятия, как «близко», «чуть больше», или лингвистические сообщения «температура в помещении нормальная», «в помещении прохладно», используемые в житейской и технологической практике, не могут быть описаны и проанализированы с помощью классических понятий теории множеств и математической логики.

Для того, чтобы адекватно представить приблизительное (словесное) описание свойств предметов и явлений на языке теории множеств, Л. Заде ввел понятие лингвистической переменной, значениями которой являются слова или фразы естественного языка. Например, если фактическая переменная - температура x в жилом помещении (рис.2, а) - характеризуется бытовыми понятиями «нормальная» (в диапазоне 19-21^оС), «прохладно» (17-19 °С) и т.д., то совокупность этих 5 значений «холодно», «прохладно», «нормально» и т. д. рассматривается как лингвистическая переменная х_l. При этом совокупность значений (названий!) лингвистической переменной x_l образует так называемое терм-множество, а исходная переменная x называется базовой.

Переход от абсолютных значений базовой переменной x к соответствующим значениям лингвистической переменной (см. рис. 2, 6) необязательно линеен (в обычном понимании) и что различным термам могут соответствовать разные диапазоны базовой переменной.

Ограничение на значения базовой переменной x, которое каждому ее значению ставит в соответствие число из интервала [0, 1], называется функцией принадлежности ФП (в англ. membership function) и обозначается m(х). На рис. 2, в в качестве примера показаны ФП m _l (х), определяющие терм «нормальная температура в помещении». Линия 1 соответствует функции принадлежности, представленной в виде кривой Гаусса,

,

(1)

где m = 20^оС, s » 1 ^оС.

Линия 2 соответствует наиболее часто используемой на практике треугольной форме ФП. На рис.2, г представлены пять функций треугольной и трапецеидальной формы, образующие терм-множество названий лингвистических значений переменной х_l -«температура в помещении», т.е. индекс l в данном случае принимает значения «холодно», «прохладно» и т.д.

Рис.2. К понятиям "лингвистическая переменная" (а, б) и "функция принадлежности" (в, г)

Обычно на практике вместо абсолютных значений базовой переменной используют ее нормированные значения х_н, (см. рис.2, г). При этом достаточно удобной оказывается система из семи ФП (рис. 3. а), которая охватывает следующие универсальные лингвистические значения (англ.): negative big (NB), negative medium (NM), negative small (NS), zero (ZR), positive small (PS), positive medium (PM), positive big (PВ). На рис. 3, б показана система из девяти ФП ошибки регулирования e, заданных на интервале [-1, 1]. Здесь, в отличие oт рис. 3, а, добавлены еще два лингвистических значения- negаtive zero (NZ) и positive zero (РZ), a интервалы для отдельных ФП приняты неодинаковыми.

Для управляющего воздействия у ФП иногда могут иметь вполне однозначный характер, как показано на рис. 3, б (жирные линии).