Раздел 10.3. Оптические системы.

Понятия и определения.

1) Как правило, в задачах рассматриваются оптические системы линз с совпадающими главными оптическими осями. В такой системе изображение предмета, расположенного на общей оптической оси системы, также возникает на этой оси.

2) Основной принцип работы с любыми оптическими системами: изображение предмета в предыдущем элементе оптической системы становится предметом для следующего элемента оптической системы.

3) Телескопическая система линз – система, в которой фокусы двух соседних линз совпадают. В телескопической системе увеличение не зависит от расстояния до предмета и определяется формулой , где F₁ – фокусное расстояние передней (по отношению к предмету) линзы, а F₂ – задней.

4) Глаз человека также можно рассматривать как оптическую систему. Роль линзы играет хрусталик, роль экрана – сетчатка. Фокусное расстояние хрусталика – переменное, поэтому при разных значениях d изображение получается на сетчатке, то есть с одинаковым f. Расстояние наилучшего зрения d₀ = 25 см – при котором можно рассматривать предмет, не напрягая глазные мышцы (с недеформированным хрусталиком). Если изображение получается до сетчатки, человек считается близоруким, если за сетчаткой – дальнозорким (в первом случае в d < d₀, а во втором d > d₀). В обоих случаях на самой сетчатке изображение расплывается – изображением точки является не точка, а пятно. Линзы очков, применяемых для исправления дефектов зрения, и хрусталик глаза можно рассматривать как близко расположенные тонкие линзы.

Соотношения между физическими величинами.

1) В любой оптической системе общее увеличение равно произведению отдельных увеличений в различных элементах системы: .

2) Оптические силы близко расположенных тонких линз складываются: . Соответственно, для фокусных расстояний в этом случае справедливо соотношение: .

3) Если вплотную к линзе с фокусным расстоянием F приставлено плоское зеркало, то оптическая сила такой системы равна

Примеры решения задач.

1) Две тонкие собирающие линзы с совпадающими главными оптическими осями и фокусными расстояниями F₁ = 2 см и F₂ = 20 см соответственно, расположены на расстоянии L = 16 см друг от друга. Предмет находится перед первой линзой на расстоянии d₁ = 3 см от неё. С каким увеличением изображается предмет в данной оптической системе?

Решение. Для первой линзы , , . Это изображение становится предметом для второй линзы. Таким образом,

d₂ = L – f₁ = 10 см < F₂, то есть изображение будет мнимым. , , . Окончательно .

Дополнительно. Будет это изображение прямым или перевернутым? Рассмотрите случай L = 1 см и найдите увеличение во второй линзе.

2) Плоскопараллельную стеклянную пластинку разрезали так, что получилось две линзы: плоско-вогнутая (рассеивающая в воздухе) и плоско-выпуклая (собирающая в воздухе) – см. рис.1. Оптическая сила собирающей линзы равна D₁. Найти оптическую силу рассеивающей линзы D₂.

Решение. Если составить эти линзы вместе, снова получим плоскопараллельную пластинку. При прохождении через неё перпендикулярный ей пучок не преломляется, то есть фокусное расстояние стремится к бесконечности, а оптическая сила системы – к нулю. , .

Дополнительно. Плоскопараллельную стеклянную пластинку разрезали так, что получилось три линзы (две собирающих и рассеивающая – см. рис.2). Фокусные расстояния собирающих линз равны F₁ и F₂ соответственно. Найти модуль фокусного расстояния рассеивающей линзы F₃.

3) Главные оптические оси двух тонких линз – собирающей и рассеивающей – совпадают, а модули их фокусных расстояний равны F₁ и F₂ соответственно. На переднюю линзу (собирающую) падает вдоль её главной оптической оси пучок света круглого сечения и радиуса R. На выходе из оптической системы получается также пучок круглого сечения. Найти его радиус r.

Решение. Система линз является телескопической. Ход лучей в системе изображен на рисунке. Параллельный пучок сходится в фокусе собирающей линзы, и эта светящаяся точка становится предметом для рассеивающей линзы. Параллельный пучок может получится только в случае, если эта точка находится в фокусе рассеивающей линзы. Из подобия треугольников , откуда .

Дополнительно. Главные оптические оси двух собирающих линз совпадают, а их фокусные расстояния равны F₁ и F₂ соответственно. На каком расстоянии друг от друга находятся линзы, если известно, что эта система параллельный пучок переводит в параллельный?

4) Перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F на расстоянии d > F от неё расположен точечный источник света. На каком расстоянии x от линзы с другой стороны надо расположить плоское зеркало, чтобы лучи, пройдя сквозь линзу, отразившись от зеркала и вторично пройдя сквозь линзу, образовали параллельный пучок?

Решение. Ход лучей изображен на рисунке. Отразившись от зеркала, лучи обязаны пройти через фокус – только в этом случае на выходе будет параллельный пучок. Формула линзы (для изображения в линзе без зеркала): , откуда

Дополнительно. Пусть предмет располагается на двойном фокусном расстоянии от линзы, а зеркало – на тройном фокусном расстоянии. Где и с каким общим увеличением получится изображение предмета в этой оптической системе?

5) Какой оптической силы очки нужны близорукому человеку с расстоянием наилучшего зрения d₁ = 20 см?

Решение. Запишем формулу линзы дважды. Расстояние f от хрусталика до сетчатки не меняется. Без очков: . В очках: . Вычитая эти уравнения (все расстояния выражаем в метрах), получаем:

Дополнительно. Какой оптической силы очки нужны дальнозоркому человеку с расстоянием наилучшего зрения d₂ = 50 см?