Сила - количественная мера воздействия одного тела на другое.

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

С помощью кинематических уравнений можно вычислить положение движущегося тела в любой момент времени, если известны его начальное по­ложение, скорость и ускорение. Но кинематика не даёт ответа на вопросы: по какой причине тело движется именно так? почему оно имеет именно такое ускорение?

Ответы на эти вопросы даёт динамика.

 

2.1. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫОТСЧЁТА

 

Первый закон Ньютона гласит: всякое тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или их действие компенсируется.

Эта простая формулировка имеет глубокий смысл. Её можно рассматривать с разных точек зрения, обнаруживая различные аспекты этого закона.

Прежде всего следует отметить, что первый закон не может выполняться в любой системе отсчёта. Допустим, что имеется тело, на которое не действуют другие тела (или сумма действующих на тело сил равна нулю), и в некоторой системе отсчёта это тело покоится. В этой системе отсчёта первый закон выполняется. Пусть другая система движется относительно первой с постоянным ускорением а'. Как следует из преобразований Галилея (см. разд. 1.6), в такой системе отсчёта рассматриваемое тело будет иметь ускорение. Первый закон в этой системе не выполняется. Это означает, что первый закон Ньютона будет выполняться лишь в тех системах отсчёта, которые движутся равномерно и прямолинейно относительно той, в которой рассматриваемое тело покоится при отсутствии воздействий на него. Такие системы отсчёта называют инерциальными системами отсчёта.

Возникает вопрос: как определить, инерциальна ли какая-либо конкретная система отсчёта?

Ответ на этот вопрос содержится в формулировке первого закона Ньютона. С этой точки зрения закон и есть определение инерциальной системы отсчёта.

Инерциальной является такая система отсчёта, в которой сумма сил, действующих на неподвижное тело, равна нулю.

В неинерциальных системах отсчёта сумма сил, действующих на неподвижное тело, нулю не равна!

Рассмотрим пример. Пусть металлический шарик лежит на горизонтальном столике в вагоне движущегося поезда. Скорость шарика относительно столика по условию равна нулю.

Шарик, лежащий на столе, притягивается к Земле и взаимодействует с поверхностью стола. Если измерить результаты этих взаимодействий (сейчас совершенно не важно, как это можно сделать), то окажется, что воздействия компенсируют друг друга.

Следовательно, система отсчёта, связанная с вагоном, является инерциальной.

Теперь представьте себе, что поезд начал тормозить (или разгоняться, или поворачивать). Что будет с шариком? Шарик начнёт двигаться относительно столика, т.е. шарик изменит свою скорость относительно данной системы отсчёта.

Но ведь действие Земли на шарик по-прежнему компенсируется действием столика, а скорость движения шарика не остаётся постоянной.

Это означает, что теперь система отсчёта, связанная с вагоном, инерциальной не является.

Для большинства задач, встречающихся в науке и технике, инерциальной системой отсчёта является система, связанная с Землёй или движущаяся равномерно и прямолинейно относительно Земли.

Но в ряде случаев системы отсчёта, связанные с Землёй, считать инерциальными нельзя. Дело в том, что Земля вращается, следовательно любой предмет, неподвижный относительно Земли, движется ускоренно (равномерное движение по окружности является равноускоренным движением; при таком движении тело имеет центростремительное ускорение). Если пренебречь этим ускорением нельзя, инерциальной системой отсчёта считают систему отсчёта, связанную с Солнцем.

Однако смысл первого закона Ньютона не ограничен определением инерциальной системы отсчёта.

Согласно первому закону Ньютона, для того, чтобы тело двигалось равномерно и прямолинейно, никакие силы не нужны.

Можно возразить, что ни один предмет не начнёт двигаться, если его не толкать. Но обратите внимание: не начнёт, т.е. не изменит свою предыдущую скорость. Так что силы нужны не для того, чтобы тела двигались, а для того, чтобы они изменяли свою скорость.

 

2.2. СИЛА. МАССА. ИМПУЛЬС

Простые эксперименты показывают, что разные воздействия на одно и то же тело вызывают разные ускорения.

Поэтому возникает необходимость в количественной мере воздействия. Такой мерой является сила.

Сила - количественная мера воздействия одного тела на другое.

Как отмечено выше, сила является причиной изменения скорости тела, на которое она действует. Кроме того, поскольку в результате воздействия всякое реальное тело деформируется, сила является причиной деформации тел.

Деформация тел под действием сил позволяет разработать метод измерения сил. Например, если к висящей вертикально пружине подвесить тело, то пружина растянется на определённую величину. Если затем подвесить второе, точно такое же тело, то пружина растянется в два раза сильнее. Если подвесить третье - в три раза и т.д. Таким образом, если имеется набор одинаковых эталонных тел, можно ввести единицу измерения силы.

В системе единиц СИ в качестве единицы измерения сил используется ньютон (обозначается Н).

Сила, возникающая в результате притяжения к Земле, всегда направлена вниз. Но силы могут возникать и за счёт воздействия других тел. В этом случае сила может иметь другое направление. Это означает, что сила является векторной величиной. Любая сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения (экспериментально установлено, что одна и та же сила, приложенная к разным точкам одного и того же тела, действует по-разному).

Если на тело одновременно действует несколько сил, то в ряде случаев их действие будет эквивалентно одной силе, равной векторной сумме всех сил:

F=F₁+F₂+F₃…

Сила F называется равнодействующей силой.

Если одинаковые силы приложить к двум разным телам, то у одного тела ускорение будет больше, у другого - меньше.

Это проявление неотъемлемого свойства любого тела - инертности. Инертность - это свойство тел сохранять состояние покоя или двигаться с неизменной скоростью при отсутствии внешнего воздействия.

Поскольку инертность разных тел различна, возникает вопрос о количественной мере этого свойства. Поэтому и вводится масса - мера инертности тел. Чем больше инертность тела, тем больше его масса.

Масса в системе СИ измеряется в килограммах (кг).

Массу 1кг имеет эталонная гиря из платино-иридевого сплава, которая хранится в Международном бюро мер и весов.

Важным свойством массы является её аддитивность. Это значит, что масса тела, состоящего из нескольких частей, равна сумме масс его частей.

Понятия силы и массы были определены Ньютоном в XVII в. Тогда же им была введена ещё одна характеристика движения - количество движения (на самом деле понятие импульса использовалось и предшественниками Ньютона, но именно Ньютон сформулировал законы, связывающие динамические характеристики между собой).

Количеством движения Ньютон назвал физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость. В настоящее время эту характеристику называют импульсом

p = m v.

Импульс - векторная величина. Направление вектора импульса совпадает по направлению с вектором скорости.

В единицах системы СИ размерность импульса [ p ]=кг.м².

 

2.3. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

 

Второй закон Ньютона гласит: в инерциальных системах отсчёта произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме сил, действующих на тело. В аналитической форме закон записывается следующим образом:

m a =å F.

Не следует воспринимать эту формулировку как определение силы. Смысл её совершенно иной. Второй закон Ньютона утверждает, что в инерциальных системах отсчёта сила, действующая на тело, всегда равна произведению массы этого тела на ускорение, вызванное силой.

С другой стороны, используя эталонную массу, можно ввести единицу измерения силы именно на основе второго закона Ньютона.

Если известны силы, действующие на тело массой m, можно рассчитать все кинематические характеристики движения этого тела. Действительно, проинтегрировав по времени выражение , можно получить зависимость скорости от времени, а проинтегрировав уравнение зависимости скорости от времени - выражение, описывающее зависимость координаты от времени.

Например, пусть ускорение тела постоянно a =const и направлено вдоль оси х; в начальный момент тело покоится в точке с координатой х =0. По определению ускорение . Отсюда dv = adt и . Взяв интеграл, получаем уравнение зависимости скорости тела от времени v=at.

По определению скорость . Тогда dx = vdt = atdt и .. Взяв интеграл, получим уравнение, , описывающее зависимость координаты тела от времени.

Таким образом, зная силы, действующие на тело, можно предсказать, как будет двигаться тело под действием этих сил, в какой момент времени тело окажется в нужной точке пространства (кроме сил необходимо также знать начальное положение тела и его начальную скорость).

Второй закон Ньютона можно сформулировать и иначе: скорость изменения импульса тела равна сумме действующих на тело сил:

.

Эта формулировка не отвергает рассмотренную ранее. Обе формулировки отображают одну и ту же закономерность, они взаимосвязаны, что видно из следующего:

.

Второй закон Ньютона часто называют основным законом динамики поступательного движения. Именно на основе второго закона решается основная задача динамики - описание движения тел под действием сил, приложенных к телу.

 

2.4 Третий закон Ньютона

 

Первый и второй законы Ньютона рассматривают движение тел. Третий закон рассматривает взаимодействие двух тел. Он гласит: силы, с которыми действуют друг на друга два взаимодействующих тела, всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны

F ₁₂ =- F ₂₁

Обратите внимание: силы F ₁₂и F ₂₁приложены к разным телам. Это означает, что эти силы не компенсируют друг друга.

Третий закон справедлив для сил любой природы. Все виды фундаментальных взаимодействий порождают равные по величине и противоположные по направлению силы одной природы.

 

2.5. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

 

Как было показано в разд. 2.1, любая система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчёта, является инерциальной.

В разделе 1.6 рассматривалось, что если системы отсчёта движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, то ускорение тела, измеренное в каждой из систем отсчёта, будет одинаковым.

Это означает, что ускорение какого-либо тела, измеренное в разных инерциальных системах отсчёта, будет одинаковым.

Из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела массой т зависит от величины силы, приложенной к телу: . Тогда во всех инерциальных системах отсчёта на рассматриваемое тело действует одна и та же сила.

Следовательно, динамические уравнения, составленные в разных системах отсчёта для одного и того же тела, во всех инерциальных системах отсчёта имеют абсолютно одинаковый вид. По виду такого уравнения совершенно невозможно определить, в какой именно инерциальной системе отсчёта производились измерения.

Следовательно, в инерциальных системах отсчёта все механические процессы протекают одинаково; все инерциальные системы по своим свойствам эквивалентны, абсолютной инерциальной системы отсчёта не существует. Эту формулировку и принято называть принципом относительности Галилея.

 

2.6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Рассмотрим систему из нескольких взаимодействующих между собой тел.

В результате взаимодействия между собой этих тел возникают силы F _12, , F ₁₃, F _2l, F ₂₃, F ₃₁, F ₃₂.На тело 1со стороны тела 2действует сила F ₁₂, со стороны тела 3- сила F ₁₃на тело 2со стороны тела 1действует сила F ₂₁, со стороны тела 3- сила F ₂₃ и т.д. Это внутренние силы, т.е. силы, возникающие в результате взаимодействия двух тел, принадлежащих рассматриваемой системе.

Пусть также каждое из тел взаимодействует с телом, не принадлежащим системе. В результате взаимодействия тела 1с внешним те­лом возникает сила F ₁ в результате взаимодействия тела 2с внешним телом -сила F ₂ и т.д. Это - внешние силы, т.е. силы, возникающие в результате взаимодействия тела, принадлежащего системе, с телом, не принадлежащим системе.

Таким образом, на каждое из тел рассматриваемой системы действуют внутренние и внешние силы.

Опишем движение каждого из тел системы с помощью уравнений динамики. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона в форме .

Здесь Σ F есть сумма всех сил, действующих на данное тело. Составим уравнения движения для каждого из тел, принадлежащих системе:

.

Каждое из этих уравнений описывает движение первого, второго и третьего тел соответственно. В левой части каждого из уравнений стоит величина, равная скорости изменения импульса тела, в правой - сумма сил, действующих на это тело.

Сложим левые и правые части этих уравнений:

В левой части полученного уравнения имеется сумма производных импульсов тел, принадлежащих системе, по времени. Учитывая свойства производных, мы можем заменить сумму производных производной суммы

Величина p₁+p₂+p₃ представляет собой суммарный импульс всех тел, принадлежащих системе. Его принято называть полным импульсом системы p = p₁+p₂+p₃ где p - полный импульс системы.

Из третьего закона Ньютона следует, что силы, возникающие при взаимодействии двух тел, равны по величине и противоположны по направлению

F ₁₂=- F ₂₁.

Это означает, что их сумма равна нулю

F ₁₂+ F ₂₁=0.

Точно так же F ₂₃ + F ₃₂=0 и F ₃₁ + F ₁₃=0

Отсюда

т.е. производная полного импульса системы тел по времени равна сумме внешних сил.

Если векторная сумма внешних сил равна нулю, то и . Но это означает, что полный импульс системы р не зависит от времени, т.е. полный импульс системы постоянен: p =const.

Вывод будет таким же, если внешних сил не будет.

Полученные результаты позволяют сформулировать закон сохранения импульса: полный импульс системы тел постоянен во времени, если на систему не действуют внешние силы или сумма внешних сил равна нулю.

Важно отметить, что импульс каждого из тел, принадлежащих системе, может изменяться. Однако изменение импульса одного тела обязательно будет скомпенсировано изменением импульса других тел.