НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ.
Общие положения. Описание процесса.
Ранее были рассмотрены условия распространения теплоты при стационарном режиме, когда температурное поле не менялось во времени, оставалось постоянным.
Если же температурное поле меняется во времени, т.е. является функцией времени, то протекающие в таких условия процессы называются нестационарными.
Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при охлаждении и нагреве металлических заготовок, прокалывании твердых тел, в производстве стекла, обжига кирпича и т.д.
В качестве примера рассмотрим такой случай. Тело внесено в среду более высокой температурой; сразу же между средой и телом возникает процесс теплообмена, и тело начинает прогреваться. Сначала нагреваются поверхностные слои, но постепенно процесс прогрева распространяется вглубь тела (рис. 1.6.1).
По истечении некоторого времени (теоретически бесконечно большого) температура всех частей тела выравнивается и становится равной температуре окружающей среды, т.е. наступает тепловое равновесие.
На рис. 1.6.1 показан характер кривых, полученных при нагревании однородного твердого тела в среде с постоянной температурой 
.По мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближается к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени прогрева эта разность будет уменьшаться и теоретически через достаточно большой отрезок времени она будет равна нулю.
При нестационарном режиме количество переданной теплоты также непостоянно во времени (рис. 1.6.2). По мере прогрева тела количество воспринимаемой теплоты уменьшается и в пределе становится равным нулю. Площадь, заключенная между осями и кривой, определяет собой полное количество теплоты, переданное за время 
. Эта теплота аккумулируется телом. Нестационарные тепловые процессы всегда связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества.
Аналогичным образом протекает и процесс охлаждения тела, при этом выделенная теплота передается в окружающую среду.
Скорость теплового процесса при нестационарном режиме определяется значением коэффициента температуропроводности
а 
, 
.
Любой процесс нагревания или охлаждения тела можно разделить на три режима.
Первый режим - начало процесса.
Характерной особенностью этого режима является распространение температурных возмущений в пространстве и захват все новых и новых слоев тела. Скорость изменения температуры в отдельных точках при этом режиме различна и зависит от начальных условий.
Это режим неупорядоченного процесса.
Второй режим.
С течением времени скорость изменения температуры во всех точках тела становится постоянной. Это режим упорядоченного процесса, он называется регулярным режимом.
Третий режим.
По прошествии длительного времени наступает третий режим, характерной особенностью которого является постоянство распределения температур во времени – это стационарный режим.
Например, в работе паровых котлов нестационарный режим возникает лишь при пуске в работу, выключении и изменении режима работы и имеет временный характер. Поэтому расчет таких аппаратов производится лишь для основного, стационарного режима, а для нестационарного совсем не рассчитывается. В работе же нагревательных печей, наоборот, нестационарный режим является основным, при их расчете приходится определять время, необходимое для прогрева металла до заданной температуры, или температуру, до которой металл нагреется в течение определенного промежутка времени.
Описанный характер изменения температуры и количества переданной теплоты справедливы лишь для твердых тел.
Решение задач нестационарной теплопроводности.
Решить задачу нестационарной теплопроводности это значит найти зависимость изменения температуры и количество теплоты переданной телу во времени для любой точки тела:
t=f(x; y; z; τ) и Q=φ(x; y; z; τ).
Для аналитического нахождения этих зависимостей может быть использовано дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье:
.
Это уравнение решается с помощью рядов Фурье. Аналитическое решение получается очень сложным и возможно лишь для тел простой формы (пластины, цилиндра и шара) при целом ряде упрощающих предпосылок.
Аналитическое описание процесса теплопроводности кроме дифференциального уравнения также включает в себя и условия однозначности.
Условия однозначности задаются в виде:
· физических параметров 
, 
, 
;
· формы и геометрических размеров объекта 
;
· температуры тела в начальный момент времени 
; t = t0 = f(x, у, z).
· граничных условий, которые могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода:
.
Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции, которая удовлетворяла бы уравнению и условиям однозначности.
t=f(x,y,z,i,a,t0,tж, )
Если решить это уравнение для плоской стенки и рассмотреть процесс изменения температуры только в одном направлении x, то решение будет иметь следующий вид:
,
где b и c определяются из условий стационарности процесса, т.е. при 
;
, 
- из граничных условий 3 рода;
- из начальных условий, т.е. при .
Из уравнения видно, что искомая функция t зависит от большого числа переменных, которые можно сгруппировать в 3 безразмерных комплекса, эти комплексы называются числами подобия.
Первое число подобия - Число Био:
,
где 
- коэффициент теплоотдачи на границе жидкости и твердого тела;
λ - коэффициент теплопроводности твердого тела;
l - характеристический размер, который определяется в зависимости от формы тела:
для пластины l =δ;
для цилиндра l = 
;
для шара l = 
.
Второе число подобия - Число Фурье:
,
где a - коэффициент температуропроводности;
τ – время.
Число Фурье называют также безразмерным временем.
Третий безразмерный комплекс - безразмерная координата:
.
Установлено, что θ - безразмерная температура, является функцией чисел Био и Фурье, для фиксированных значений 
, т.е.
.
Изменение безразмерной температуры θ для центра ( 
) и поверхности (
) можно представить графическим решением, которое приведено на рисунке 1.6.3.
 |
Подобные графики построены для центра и поверхности пластины, цилиндра и шара, а так же для безразмерного количества теплоты, которая является функцией числа Bi и 
:
.
Следовательно, чтобы определить температуру на поверхности или в центре тела необходимо знать две величины: число Bi и число .
Таким образом, метод решения задач нестационарной теплопроводности заключается в следующем:
1) задаются геометрическими, начальными и граничными условиями [(с;λ; ; 
;α; 
),(
или 
)];
2) вычисляют числа Bi и ;
, 
;
3) зная числа Bi и по графику, определяют безразмерную температуру θ;
4) определив θ, рассчитывают температуру в центре
или на поверхности тела
,
где - начальная температура тела;
- температура среды.
Рассмотрим влияние значений чисел Bi на распределение температуры в теле на примере охлаждения пластины.
Из полученного решения следует, что для любого момента времени температурное поле имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины ( ). В каждый последующий момент будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности (рис. 1.6.4).
Для любого момента времени касательные к кривым в точках 
проходят через направляющие точки +А и
– А, которые расположены на расстоянии 
от поверхности пластины, причем
или 
,
отсюда 
, т.е. расстояние до точки А полностью определяется условиями однозначности.
Сказанное справедливо для всех поверхностей.