Заметим, что построение интерполяционного многочлена Pn (x), единого для всего отрезка [ a, b ], связано с решением системы уравнений (4), что требует при большом числе узлов xi выполнения большого объема вычислительной работы. Поэтому при решении практических задач используются так называемые интерполяционные формулы. К ним относятся формулы Лагранжа, Ньютона, Гаусса, Бесселя др.
Пусть на отрезке [ a, b ] заданы узлы n +1 различных произвольных значений аргумента x: x 0, x 1, x 2 ,…, xn, и известны для функции значения ; ; ; … .
Необходимо построить полином степени не выше n, имеющий в узлах x 0, x 1, x 2 ,…, xn те же значения, что и функция , т.е. .
Запишем искомый полином в виде
, (6)
в котором множитель равен
(7)
имеет степень n и обладает двумя свойствами:
;
.
Эти свойства означают, что, например, множитель в узле x 0 равен единице, а в остальных узлах равен нулю, множитель в узле x 1 равен единице, а в остальных узлах равен нулю и т. д.
Подставив в формулу (6) значение из (7), получим
. (8)
Легко заметить, что в силу свойств множителя степень многочлена не выше n и он удовлетворяет условиям:
.
Многочлен (8) называется интерполяционной формулой Лагранжа. Формула Лагранжа в краткой форме имеет вид
. (9)
Пример 1. Заданы значения функции в точках: , ; , ; , ; , .
Используя многочлен Лагранжа, вычислить значение .
Согласно формуле Лагранжа (9), имеем
Подставляя значения xi и yi, после несложных преобразований получим
.
При находим [3].
Применение интерполяционной формулы Лагранжа при локальной интерполяции. Простейшим и наиболее часто применяемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что на отрезке , в точке x которого требуется найти значение функции , последняя аппроксимируется линейной функцией. Геометрический смысл такого подхода заключается в замене графика функции , проходящего через заданные точки и отрезком прямой. Уравнение этой прямой может быть построено, используя положения аналитической геометрии. Однако это уравнение проще получить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа.
Например, необходимо построить уравнение для линейной интерполяции (n = 1) некоторой функции в точке x, находящейся на i - м отрезке интервала [ a, b ]. Согласно формуле (9), получим
. (10)
В случае, когда в ходе решения задачи необходимо многократно вычислять значения некоторой функции для различных значений точки x, принадлежащим двум смежным отрезкам и интервала [ a, b ], то удобно осуществлять интерполирование с использованием квадратного трехчлена. Такую интерполяцию называют квадратичной или параболической интерполяцией.
Построение квадратного трехчлена выполняют обычно, применяя интерполяционный многочлен Лагранжа (n = 2). Например, для любых заданных трех точек , и формула (9) примет вид:
(11)
При использовании линейной или квадратичной интерполяции многочлены (10) и (11) приводят к виду или , где коэффициенты a, b, и c находят, подставив в (10) и (11) известные значения функции и значения соответствующих узлов сетки.
Рассмотренные выше интерполяционные многочлены получены для произвольной сетки узлов на интервале [ a, b ]. В практических задачах значения аппроксимируемой функции часто заданы на равномерной сетке, т.е. для равноотстоящих узлов. В этом случае упрощаются формы интерполяционных многочленов, в частности, формула Лагранжа.
Пусть имеем равномерную сетку узлов интерполирования, на которой шаг h интерполяции (рисунок 1). Введем обозначение
. (12)
Из формулы (12) и рисунка 1 имеем:
;
;
;
…………………………
;
…………………………
.
Подставив эти соотношения в выражение (7)
для , получим
.
Заметим, что в знаменателе полученного выражения для , . Учитывая это и умножив числитель и знаменатель этого выражения на , после преобразований найдем
, где .
Подставив полученное выражение для в интерполяционный многочлен Лагранжа (6), получим