Вопросы к экзамену
Производная
1. Производная функции: определение, вычисление.
2. Производные постоянной величины, степенной функции, тригонометрических функций.
3. Производная суммы, произведения, частного.
4. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
5. Геометрический смысл производной, уравнение нормали.
6. Применение производной в решении прикладных задач.
7. Применение производной в исследовании функции.
8. Физический смысл производной.
Интеграл
1. Определение первообразной, теорема о первообразной.
2. Неопределенный интеграл: определение и свойства.
3. Определенный интеграл: определение и свойства.
4. Методы интегрирования.
5. Физический смысл определенного интеграла.
6. Геометрический смысл определенного интеграла.
7. Применение определенного интеграла при нахождении работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины.
8. Применение определенного интеграла при вычислении площадей плоских фигур и объемов тел вращения.
Дифференциальные уравнения
1. Определение дифференциального уравнения и его решение. Порядок дифференциального уравнения.
2. Общие и частные решения дифференциального уравнения.
3. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными, метод решения.
4. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, метод решения уравнения.
5. Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, метод его решения.
Задачи к экзамену
Производная
1. Дано уравнение движения пассажирского лайнера: 
, где S – путь (км), t – время (ч). Найдите скорость этого лайнера через 1 час после начала движения.
2. Найдите скорость движения моторной лодки в момент времени t = 5с, если путь её задан уравнением: 
3. Найдите скорость движения моторной лодки в момент времени t = 3с, если её путь задан уравнением: 
.
4. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении трейлера задана уравнением: 
Вычислите скорость этого трейлера в момент времени t = 4с.
5. Найдите скорость движения моторной лодки в момент времени t = 4с, если её путь описывается уравнением: 
6. При выброске с вертолета груза для терпящего бедствие судна зависимость пути свободного падения груза от времени выражается формулой: 
(м). Какова будет скорость этого груза в конце третьей секунды падения?
7. Зависимости путей от времени при прямолинейном встречном движении танкера и сухогруза описываются уравнениями: 
(км); 
(км). В какой момент времени их скорости будут равны?
8. При торможении угол поворота маховика в главном двигателе судна изменяется по закону 
(рад). Найдите угловую скорость маховика ω в момент времени t = 4с.
9. Объем газа при нагревании изменяется по закону 
, где V – объем газа (м3), Т – температура (К). Определите скорость изменения объема V при температуре Т = 30К.
10. Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0, задается формулой 
. Найдите силу тока в конце шестой секунды.
11. Количество электричества, протекшее через проводник за время t, выражается формулой 
(q – в Кулонах, t – в секундах). Найдите силу тока в конце пятой секунды.
12. Найдите ускорение катера в момент времени 2 секунды, если его путь задан уравнением 
13. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении сухогруза по каналу задана уравнением 
Вычислите его ускорение в момент времени t = 3c.
14. Зависимость пути от времени при движении буксира задана уравнением: 
В какой момент времени его ускорение будет равно 2 м/с2?
15. Маховик за время t поворачивается на угол 
(t – сек, φ - рад). Определите угловую скорость υ в конце третьей секунды. Найдите момент времени, когда прекратится вращение.
16. Высота запущенной с судна вертикально вверх ракеты изменяется по закону: 
, где h – высота (м), t – время (с). Найдите наибольшую высоту её подъема.
17. Тело массой 1,5кг движется прямолинейно по закону 
, где S – координата тела (м), t – время (с). Определите кинетическую энергию тела 
через 2с после начала движения.
18. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тела массой 12 кг задана уравнением 
. Найдите кинетическую энергию тела 
через 5 секунд после начала движения.
19. Напишите уравнение касательной и нормали к графику функции 
в точке х0 = 2.
20. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке х0 =2.
Интеграл
1. Две лодки начинают двигаться по реке в один и тот же момент времени из одного и того же места. Их скорости изменяются по законам: 
, 
. Какая из этих лодок пройдет больший путь за 5 секунд?
2. Скорость прямолинейно движущегося катера береговой охраны изменяется по закону 
, где V – скорость (м/с), t- время (с). Найдите путь, пройденный этим катером за промежуток времени [0;3].
3. Две лодки одновременно выходят с одного пирса: одна со скоростью 
(м/с), другая – со скоростью 
(м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 секунд, если движутся по реке в одном направлении?
4. Скорость движения буксира выражается формулой: 
(км/ч). Найдите путь, пройденный этим буксиром от начала движения до его остановки.
5. Два судна начали двигаться по реке в один и тот же момент с одного пирса в одном направлении соответственно со скоростями 
V1 (м/с) и 
(м/с). Через сколько секунд расстояние между ними будет 250 м?
6. Найдите путь, пройденный катером за вторую секунду, зная, что скорость его прямолинейного движения выражается формулой: 
(м/с).
7. При расхождении двух судов из одной точки в противоположных направлениях, их скорости изменяются по законам: скорость первого 
(м/с), скорость второго 
(м/с). Найдите расстояние между ними через 3с после начала движения.
8. Буксир движется прямолинейно, со скоростью 
(м/с). Найдите время, за которое буксир пройдет12 м.
9. Скорость прямолинейного движения судна изменяется по закону: 
(км/мин). Найдите путь, пройденный судном за 3 минуты от начала движения.
10. Катер движется прямо по озеру (в стоячей воде) со скоростью 
(км/ч). Найдите длину пути, пройденного катером за третий час.
11. Турбина компрессора раскручивается с угловым ускорением, изменяющемся по закону 
, где ω - угловое ускорение (рад/с2); t - время (с). На сколько увеличится угловая скорость турбины за промежуток времени [2;5]?
12. Чтобы растянуть пружину на 2 см, необходимо приложить силу в 20 Н? Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пружину на 6см?
13. Вычислите работу силы при сжатии пружины на 4см. если коэффициент сжатия равен 1000 Н/м.
14. Силой в 80Н пружина растягивается на 2см. Первоначальная длина пружины 15см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 20см?
15. Найдите работу, которую нужно совершить при растяжении пружины на 3 см, если для ее растяжения на 6 см требуется сила 30 Н.
16. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
; y=0; х=1; х=5.
17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
; 
18. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
; y = 0; х = 2.
19. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
; y = 0.
Дифференциальные уравнения
1. Найдите общее решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка 
2. Найдите общее решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка 
3. Найдите общее решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка 
4. Найдите общее решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка 
5. Найдите общее решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка: 
6. Найдите общее решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка 
7. Найдите общее решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка 
8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
.
9. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
10. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
11. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
12. Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными: 
13. Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными: 
14. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
15. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
16. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
17. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
18. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
19. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
20. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 
21. Найдите уравнение линии, проходящей через точку К(1;3) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой 
.
22. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М(3;1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 
.
23. Найдите такую кривую, которая проходит через точку А(0;-2), и угловой коэффициент касательной к которой в каждой точке равен абсциссе этой точки, увеличенной на три единицы.