Курс
Теоретический материал
Множеством называется совокупность некоторых объектов, объединенных по одному какому-либо признаку (множество четных чисел, множество цветов спектра, множество букв русского алфавита, множество студентов курса и т.п.)
Теория множеств – это раздел математики, занимающийся изучением общих свойств множеств, не зависящих от природы объектов, образующих эти множества.
Предметы (объекты), из которых составлено множество, называются элементами множества.
Множества бывают конечными, бесконечными и пустыми.
Множества можно задать двумя способами:
- перечислением элементов
н-р: А= 
;
- указанием характеристического свойства
н-р: «А - множество нечетных чисел», «В – множество красных шаров»;
Свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают элементы, не принадлежащие этому множеству, называется характеристическим свойством данного множества.
Множество элементов, заданное характеристическим свойством записывается так: А= 
I 
и читается: «А есть множество элементов х таких, что х больше или равно 5 и меньше 17»
Если все элементы множества А являются в то же время элементами множества В, то множество А называется подмножеством множества В.
Швейцарский математик Л.Эйлер (1707-1773)предложил
изображать множества кругами, поэтому графически
цепочка включений выглядит так (см. рис.).
Объединением множеств А и В называется множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы
одному из этих множеств.
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно множествам А и В.
Упражнения
1. Записать аналитически (с помощью формул) следующие множества:
А – множество нечетных чисел;
В – множество натуральных чисел, не превосходящих 12;
С – множество чисел, делящихся на 7.
D – множество цифр.
2. Задать перечислением элементов следующие множества:
А = {х / х ÎN; х 
9}
В = {х / х ÎN; 41 < х < 50}
С = {х / х ÎN; 35 х}
3. Записать подмножество В четных чисел множества А, где А – множество целых однозначных чисел.
4. Расположите два угла так, что их пересечение есть: а) треугольник; б) луч; в) точка; г) отрезок; д) четырехугольник.
5. Дано: А – множество натуральных чисел, делящихся на 4, В – множество натуральных чисел, делящихся на 6. Найти А 
В.
6. А=[2;7), В=(3;10]. Найти А 
В и А В.
7. Множество A - множество натуральных чисел, кратных 3, множество B - множество натуральных чисел кратных 7. Задайте множества 
выясните, какие из чисел 42, 15, 70, 26, 0 им принадлежат?
8. Множество A - множество натуральных чисел, кратных 3, множество B - множество натуральных чисел кратных 7. Задайте описанием характеристического свойства разность множеств A и B и назовите несколько чисел, принадлежащих этому множеству.
9. Найдите пересечение и объединение множества
C={14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если
а) D={12, 14, 18, 20, 22, 24};
б) D={14, 16, 18, 20};
в) D={3, 4, 5, 6};
г) D=C.
10. Найдите пересечение и объединение множеств:
а) 
и 
;
б) 
и 
;
в) 
и 
.
11. Даны множества: A - тупоугольных треугольников, B - прямоугольных треугольников, C - треугольников с углом в 50 градусов. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множество 
. Задайте это множество описанием характеристического свойства.
12. Найдите разность множества A={a, d, c, d, e} и множества B, если
а) B={c, d, e, f, k, l};
б) B={a, e, c};
в) B={c, a, d};
г) B={k, l, m};
д) B - пустое множество.
13. Множество A состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество B из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств: А\B, B\A.
14. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства: 
.
15. Дано множество A={72, 56, 513, 117, 324}. Составьте подмножества данного множества, состоящие из чисел, которые:
а) делятся на 4;
б) делятся на 9;
в) делятся на 5;
г) не делятся на 10.
16. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества P и Qi, если P – множество равнобедренных треугольников,
а) Q1 – множество остроугольных треугольников;
б) Q2 – множество прямоугольных треугольников;
в) Q3 – множество равносторонних треугольников.
Изобразите все четыре множества на одном чертеже.
17. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества A, B и C, если:
а) А - множество четных целых чисел,
B - множество целых чисел, кратных 4;
b) А - множество четных целых чисел,
В - множество целых чисел, кратных 2;
с) А - множество нечетных целых чисел,
В - множество целых чисел, кратных 3,
С - множество чисел, кратных 5.
18. Пусть F1 – множество параллелограммов, F2 – множество прямоугольников, F3 – множество ромбов, F4 – множество квадратов. Запишите результат операции: 
.
19. Найдите все подмножества множества М = 
. Сколько подмножеств получилось?
20. Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 не посещают ни один из этих кружков. Сколько учеников посещает и математический и физический кружки? Сколько учащихся посещают только математический кружок?
21. Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?
22. В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и тем, и другим?
23. В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 – Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры идти не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр?
24. При опросе населения выяснилось, что из 100 семей у 78 есть телевизор, у 85 – холодильник, а у 8 семей нет ни телевизора, ни холодильника. У скольких семей есть и телевизор, и холодильник?
25. Школа представила отчет: «Всего в школе 60 пятиклассников, из них 37 отличников по математике, 33–по русскому языку, 42 – по физкультуре. При этом у 21 человека «5» и по математике и по русскому, у 23 – по математике и по физкультуре, у 22 – по русскому и по физкультуре. При этом 20 чел. учатся на отлично по всем трем предметам. Верен ли отчет школы?
Контрольные вопросы
1. Назовите способы задания множеств.
2. Дайте определение подмножества.
3. Какое подмножество называется собственным?
4. Какое множество называется пустым? Приведите пример.
5. Какие множества считаются равными?
6. Проиллюстрируйте свойство дистрибутивности операции объединения относительно пересечения множеств на кругах Эйлера.