Курс
Теоретический материал
Объем понятия – это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Высказыванием называется любое предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Обозначаются А,В,С…- высказывания, «и»-истинно, «л»-ложно.
Предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений.
Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание «А и В », которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Обозначается АÙВ.
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание «А или В », которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Обозначается АÚВ.
Отрицанием высказывания А называется высказывание «не А », которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Обозначается ` А.
Выражение «для любого х» называется квантором общности и обозначается "х.
Выражение «существует такое х» называется квантором существования и обозначается $х.
Умозаключение - эта форма мышления или логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных нам определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое знание.
Упражнения
1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношение между объемами понятий a, b и c, если:
а) а – «четырехугольник»;
b – «трапеция»;
с – «прямоугольник»;
б) а – «натуральное число, кратное 3»;
b – «натуральное число, кратное 4»;
с – «натуральное число».
2. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия; родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:
а) параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
б) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
3. Среди приведенных ниже предложений найдите высказывания и установите их значения истинности:
а) (15+3)(6-4) = 36;
б) 
;
в) число 4,7ÎN;
г) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;
д) (14+х) = 34;
е) число z – трехзначное;
ж) четное число – это число, которое делится на 2.
4. Обозначьте элементы высказываний буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов логики:
-в параллелограмме ABCD угол A прямой и диагонали взаимно перпендикулярны;
-число 12 двузначное и кратно 2 или трем.
5. Найдите значения истинности следующих высказываний и дайте соответствующие пояснения: а) 15 кратно 3 и 12 кратно3; б) 
или ; в) 5 ³ 3; г) х = 2 является корнем уравнения х2 = 9 или решением неравенства 2х – 1 < 3; д) –2 < 3 < 1.
6. Даны высказывания:
A: «Сегодня ясно»;
B: «Сегодня идет дождь»;
C: «Сегодня идет снег»;
D: «Я пойду в гости».
Сформулируйте следующие высказывания:
1) A Ù 
; 2) 
; 3) 
.
7. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:
а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль.
б) Произведение любого числа и единицы есть это число.
в) При делении нуля на любое другое число получается нуль.
г) Квадрат любого числа неотрицателен.
8. Докажите или опровергните следующие высказывания:
а) Существуют уравнения, множество решений которых пусто.
б) Всякое целое число является натуральным.
в) Сумма любых двух четных чисел есть число четное.
г) хотя бы одно натуральное число является решением уравнения
7: х =2.
9. Выявите логическую структуру, определите значение истинности и постройте отрицания следующих высказываний:
а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.
б) Хотя бы одно из чисел первого десятка составное.
в) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел составное.
10. Предложения А(х) и В(х) заданы на множестве натуральных чисел. Следует ли из предложения А(х) предложение В(х), если В(х) – «Число х – четное», и
а) А(х) – «Число х делится на 6»;
б) А(х) – «Число х делится на 7»;
в) А(х) – «Число х делится на 2»?
11. Среди следующих предложений установите истинные. Ответы обоснуйте:
а) Если студент А сдаст все экзамены в сессию без троек, то он будет получать стипендию.
б) Число 15а - натуральное, следовательно, а - натуральное число.
в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник.
г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то это четырехугольник - прямоугольник.
д) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.
е) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.
12. С помощью таблиц истинности найти значение формулы:
а) A= 
;
б) B=(
) 
.
13. Какие предложения являются высказываниями, какие предикатами:
а) 3×4+5>17;
б) 9×3+1=4;
в) (9-5)(9+5)=56;
г) хотя бы одно из чисел 1,2,3,4,5 является решением уравнения х2-1=0;
д) для любого натурального числа п верно неравенство 3п+2>0;
е) 3х+13=5;
ж) 3у+5<12;
з) ху=ух?
14. С помощью таблиц истинности доказать равенство АÙВ 
= `А Ú`В.
15. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите с помощью символов логики высказывания:
а) в параллелограмме АВСД угол А прямой и диагонали взаимно перпендикулярны;
б) треугольник АВС является прямоугольным или остроугольным;
в) число 12 двузначное и кратно 2 или 3.
16. Даны высказывания:
А: «Сегодня температура воздуха ниже 0°«
В: «Сегодня ясно»
С: «Я пойду кататься на лыжах»
Д: «Я пойду кататься на коньках».
Сформулируйте высказывания, имеющие структуру:
а) А ÙВ; б) АÙД; в) СÚД; г) АÙ(СÚД); д) АÙВÙ(СÚД)
17. На множестве А={1,2,3,4,…,20} заданы предикаты
А(х): «число х кратно 5»
В(х): «число х четное»
С(х): «число х кратно 3»
Д(х): «число х составное»
Сформулируйте следующие предикаты и найдите их множества истинности:
а) А(х) Ù В(х) д) А(х) Ù В(х) ÙД(х)
б) А(х) Ú В(х) е) А(х)Ú В(х) Ú Д(х)
в) С(х) Ù Д(х) ж) А(х)Ù С(х) Ù Д(х)
г) С(х) Ú Д(х) з) А(х) Ú С(х) Ú Д(х)
18.Закончите умозаключение так, чтобы оно было дедуктивным:
а) Если четырехугольник–прямоугольник, то в нем диагонали равны. Четырехугольник АВСD …
б) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники АВС и КLМ…
в) Для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы в нем был прямой угол. Ромб АВСD…
19.Восстановите общую посылку в умозаключении:
а) Число 12 – натуральное, следовательно, оно положительное.
б) Число 15 – нечетное, следовательно, оно не делится на 2.
20. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что
1) 130 делится на 10; 2) 137 не делится на 10; 3) Четырехугольник АВСD не является прямоугольником.
Контрольные вопросы
1. Что такое понятие?
2. Каково соотношение между объемом и содержанием понятия?
3. Перечислите логические связки.
4. Какое предложение называется высказыванием?
5. Что называют конъюнкцией высказываний?
6. Перечислите свойства операций над высказываниями.
7. Что такое предикат?
8. Что называют множеством истинности предиката?
9. Перечислите операции над предикатами.
10. Что называют отрицанием предиката?
11. Как связаны множества истинности предиката и его отрицания?
12. Опишите строение теоремы А(х) => В(х).
13. Перечислите виды теорем.
14. Как связаны между собой различные виды теорем?
15. Какое рассуждение называют дедуктивным?
16. Что называют неполной индукцией?