Число предъявлений образца до правильного написания

Когда написание всех букв русского алфавита было освоено, мы проверили перенос на латинский, армянский, арабский шрифты, стенографические знаки и разные условные знаки более частного порядка. Для наших дошкольников все это не составляло затруднений. Несколько удивило нас свободная перерисовка чертежей и рисунков, самостоятельное изображение траекторий движения (жившей в классе черепахи), но так как все это сводилось к анализу линий и их расположения на плоскости, то, в общем, было понятно.

Сначала мы не могли понять, почему наше обучение оказало явно благоприятное влияние на счет (о чем нам сообщила учительница). Только посетив уроки, мы “увидели”, в чем дело: обученные нами дети четко размещали сосчитываемые предметы, не пропускали одни и не сосчитывали повторно другие. Их ответы на вопросы (“Сколько тут яблок?” и т.п.) почти всегда были правильными, и счет быстро закреплялся. А дети контрольной группы считали предметы беспорядочно, одни предметы пропускали, другие сосчитывали по несколько раз, результаты получались разные, и учительница говорила “неверно!”; процесс сосчитывания (сам по себе правильный) резко затруднялся.

Наконец, нельзя не отметить, что овладение сложной речевой характеристикой опорных точек (по их положению на “координатах” страницы) оказала явно положительное влияние на развитие речи детей при свободном описании пространственных явлений.

4. Другой областью приложения нового метода была гуманитарная дисциплина, начальная грамматика родного (русского) языка.

...

5. Третьей областью, где мы применили новый метод, были начальные числа натурального ряда и первые четыре действия с ними. Здесь остро выступили два вопроса: с чего “вообще” начинать изучение чисел (чтобы они не представлялись ребенку рядом произвольных названий) и как адекватно раскрыть ребенку самое число, особенно первое из них – единицу (из которой строятся все остальные числа из натурального ряда). Мы остановились на том, что начинать нужно с того, как числа входят в окружающую ребенка жизнь. В ней указание на число предметов (в данном конкретном их множестве) означает результат их измерения – в повседневной жизни за числом стоит измерение. Для измерения нужна мера – мера является важнейшим средством внесения собственно математического начала в мышление ребенка.

Но мера – сложный объект, и в представлении о ней выделяются прежде всего ее качественные стороны. Качество меры проявляется тем, что каждую величину можно измерять только своей мерой. "Отрабатывая" эту сторону понятия о мере, мы спрашивали детей, чем можно измерить "эту вещь" и чем нельзя (например, можно ли измерить воду веревочкой? А чем можно?). В дальнейшем мера оказалась важнейшим средством разделения разных свойств, параметров вещи и ее оценки по каждому параметру в отдельности. В задачах Пиаже это привело: 1) к разделению параметров вопроса от параметра, доминирующего в наглядной картине сравниваемых вещей; 2) к их оценке именно по параметру вопроса, и 3) к уяснению того, что во второй фазе теста Пиаже объект подвергался изменению только по одному параметру, но как раз по параметру вопроса не менялся.

Количественная характеристика меры тоже составляет довольно сложную проблему: что можно взять в качестве меры? Мера (одна мера) может состоять из нескольких вещей (частей!) и может составлять лишь часть какого-нибудь предмета. Меру нужно откладывать точно (а не "как-нибудь") и не забывать о том, что мера была отложена (для этого откладывают метки). Для меток нарочно берется самый разнообразный материал – чтобы его фактура не совпадала с его функцией (напоминать, что была отложена мера) и не подменяла ее. Откладывание меток (по мере откладывания меры) вело к тому, что конкретная величина откладывалась перед ребенком двояко: и как реальная вещь, и как множество (отложенных меток). Конкретное представительство математической величины само выступало как наглядно представленная вещь. Это означало переход величайшей важности – от конкретной величины к конкретному множеству, этой математической основе учения о числе.

Получив конкретные множества, мы переходили к их количественному сравнению – еще без числа! Детям предлагались две кучки меток (два множества) и спрашивали, где меток больше. Если дети отвечали произвольно, "как покажется", то мы обращали их внимание на разные ответы, и опять спрашивали, как "доказать" точно, где меток больше, а где меньше. Если никто из детей не мог это сделать, то им показывали прием взаимно-однозначного соотнесения двух параллельных рядов меток. На этих рядах "отрабатывали" представления "равно" (столько же), "больше" и "меньше", "больше на..." и "меньше на..." ("вот столько" – показа на избыток или недостаток элементов одного ряда по сравнению с другим).

Лишь после вводилось представление о единице, которая определялась так: то, что отложено с помощью данной меры и равно своей, и только своей мере. Чтобы показать важность этого ограничения, мера тут же менялась и ребенка спрашивали: будет ли прежде отложенная величина, равная прежней мере, и теперь единицей (при новой мере)? Таким образом, в понятие числа с самого начала вводилось отношение (равенства своей мере), и это отношение с самого начала разъяснялось как "относительное": только для "своей" меры. Дальнейшие числа строились по формуле ±1, причем сложение всегда и немедленно сопровождалось вычитанием. Ноль разъяснялся не как "ничего", а как условная точка отсчета (отмеривания), и это демонстрировалось на разных величинах, а "плюс" и "минус" – как их измерение в одну и в другую сторону. Это позволяло легко разъяснить и представление об отрицательных числах (на чем мы, однако, не останавливались). В дальнейшем важный этап составлял переход через десяток (в одну и в другую сторону), построение и изучение чисел сразу в пределах ста, затем – тысячи, а далее – первых четырех классов (до миллиарда включительно), чтение написанных чисел и написание названных и т.д.

Конечно, и такое дотошное изучение каждого "шага" в построении представлений о множествах и числах нельзя было провести у шестилеток[2] без помощи "проблемного метода" обучения. Здесь он заключался в том, что мы всегда ставили вопрос о количестве какой-нибудь наличной величины, представляли детям сначала ответить на него, как они могут, пользовались разноречием их ответов для новой постановки вопроса ("так как же на самом деле?"), не раскрывали сразу, в чем состояли их ошибки и не давали "готовый" правильный ответ, а сопоставляли факты, наводили на прием, который позволял детям самостоятельно найти правильное решение. Дети все время встречали "проблемы", возбуждающие их активность, пытались решать их, искали способы их решения, выводили эти способы из подсказанного экспериментатором сопоставления материалов, а затем применяли их в разных заданиях. Дети ничего не заучивали, но каждую новую порцию знания усваивали путем непроизвольного запоминания в действии. Проверкой этого запоминания служило выполнение действия без опоры на внешне представленную схОдп (19-23).

Для такого обучения начальным числам и первым арифметическим действиям пришлось составить обширную пропедевтическую программу. В нее вошли: учение о преобразовании конкретных величин в конкретные множества, соизмерение множеств без числа, введение отношения в понятие о единице (без чего представление о числах вообще не может считаться полноценным), новое собственно математическое представление о ноле, первое адекватное представление об отрицательных числах, принцип образования чисел натурального ряда, принцип разделения разрядов и классов десятичной системы, составление и усвоение (в действии, без заучивания!) таблицы умножения и деления, десятичные дроби (величины, равные части "составной меры").

Перенос этих разнообразных и только в действии приобретенных знаний сказался в неожиданно легком усвоении дальнейших все более сложных разделов курса начальной математики и в удивительно легком переходе к решению задач, чему мы, собственно, уже научили и что "по механизму" представляется нам еще недостаточно ясным. (31).

Но собственно ценным было новое, собственно научное понимание вещей, приобретенное детьми в результате такого обучения арифметике. Это научное воззрение прежде всего проявилось в том, что до нашего обучения дети (как, впрочем, и многие взрослые) считали, что величина – это отдельная вещь, а после обучения каждая вещь выступала как носитель многих величин! Это составляет одно из важнейших отличий так называемых "житейских понятий" (Л.С. Выготский) от научных. В житейских условиях вещь каждый раз рассматривается со стороны того свойства или тех немногих, тесно связанных свойств, которые в данной ситуации являются важным (для субъекта); вследствие этого и сама вещь характеризуется только по этим свойствам, а они выступают как ее характеристики в целом. Поэтому-то в задачах Пиаже дети не только определяют величину по свойству, которое "само бросается в глаза", но определяют по нему весь объект (а не только это его свойство); к тому же у них нет оснований считать важным для ответа (о сравнительной величине объекта) какое-нибудь другое свойство. А потом, когда мы научаем ребенка четко различать отдельные свойства объектов, в частности, то свойство, о котором ставится вопрос, от других его свойств, – сенсорная яркость некоторых признаков теряет ведущее значение (в тестах на "сохранение количества"), и у дошкольников, обученных различению параметров с помощью меры, феномены Пиаже исчезают! Сначала дети еще говорят: "Кажется, что тут больше (меньше), а на самом деле одинаково", но вскоре исчезает и эта оговорка, и дети прямо заявляют: "Ну да, по длине это стало больше, но всего воды (пластилина, песочка и т.п.) здесь и здесь одинаково".

Число правильных ответов

в задачах Ж.Пиаже (и построенных по его типу)

до и после обучения по методике III типа (в % к общему числу детей старшей группы детского сада - 50 человек) (22)

После обучения из 50 детей только трое не решили 2 задачи, двое – две другие задачи, один – одну, последнюю задачу. Из этих пяти детей двое явно отставали в умственном развитии; один пропустил много занятий по болезни, у двоих отмечалось отсутствие интереса к учебным занятиям, они не умели сосредоточиться, запомнить вопрос и т.п. Однако и эти пятеро детей (при отсутствии дополнительных занятий в детском саду и дома!) правильно решили 10 контрольных задач, а из остальных пяти неправильно решили только некоторые.

Этот результат позволяет иначе подойти к объяснению феномена "сохранения количества". Пиаже считает его продуктом объединения взаимно-обратных действий: сначала величина меняется в одном направлении, а затем в обратном, и это приводит ее к исходному состоянию; таким образом, ее количество остается тем же, что и до этих изменений. Однако изменение сначала в одном, а потом в обратном направлении (о возвращением к исходному состоянию) составляет двойное изменение, а вовсе не "сохранение количества". О таком двойном изменении нередко говорят и сами дети, у которых "сохранение количества" еще отсутствует. Ни логически, ни психологически взаимная обратимость операций не может служить основанием для вывода о "сохранении количества". В отличие от этого применение меры – одной для параметра вопроса, другой для параметра, по которому идет фактическое изменение объекта – легко раскрывает "принцип сохранения": объект меняется не по тому параметру, о котором спрашивает, а по параметру вопроса он просто не меняется. Так, например, когда сдан из двух пластилиновых шаров раскатывается в колбаску, то по длине она становится больше (прежнего диаметра шара), но количество пластилина, о котором ставится вопрос ("а теперь где больше пластилина?") при этом не меняется. Феномены Пиаже основаны на том, что ребенок судит о всей вещи каждый раз по одному тому параметру, который бросается в глаза. Это, конечно, очень характерная черта мышления дошкольника, не обученного измерению, и большая заслуга Пиаже - создание системы тестов, которые так демонстративно раскрывают эту особенность. Но происхождение феномена "насохранения количества" и механизм его преодоления - совсем не те, на которые указывает Ж.Пиаже.

Ликвидация феноменов Пиаже служит показателем того, что в суждении о конкретных величинах ребенок переходит с дооперационального уровня на уровень конкретных операций. Но это еще не решает вопроса, происходит ли здесь развитие мышления или только приобретение некоторых приемов для решения некоторых задач. Пиаже считает, что для решения этого вопроса нужно выяснить, наступает ли такое же изменение интеллектуальной деятельности и в других психических функциях: в восприятии, памяти, воображении, речи. Как всегда, он предлагает для этого набор замечательных тестов (по оценке количества) в сфере каждой из этих функций. И вот недавно мы получили прямое доказательство развивающего эффекта описанного выше обучения начальным физическим и математическим понятиям. После него дети были проверены по тестам Пиаже (для оценки величин в восприятии, памяти, воображении и речи) и обнаружили полный перенос конкретных операций во всех этих областях. (4, 5)

6. Итак, на разном материале (письмо букв, начальные понятия грамматики, начальные физические и математические понятия) мы построили такой метод обучения, который позволял ребенку после анализа нескольких первых объектов самостоятельно исследовать любой новый объект того же рода, устанавливать его строение и его характерные признаки, по ним самостоятельно воспроизводить его и в действии усваивать и знание объекта, и действия с ним. Отличие этого метода обучения от формирования умственных действий, представлений и понятий на схОдп, предлагаемой в готовом виде (II тип обучения), а тем более – отличие их обоих от обучения "путем проб и ошибок" (I тип обучения) – бросается в глаза. Каждый из этих типов учения характеризуется своей ориентировкой в предмете, своим ходом процесса учения, качеством его результатов и отношением детей к процессу и предмету учения.

[1] Это различие в написании обусловлено тем, что при скорописи “н” и “п” плохо различаются и мы дополнительно различаем их по положению в “формуле”. – Раньше я пользовался обозначением ООД (которым некоторые пользуются и до сих пор), но в этом написании не различаются: схема, которая составляется еще до начала действия, и его действительная основа, которая образуется лишь в процессе и в результате формирования.

[2] Начальное изучение грамматики предполагает элементарные умения читать и писать, и поэтому проводилось во II классе начальной школы, а начальное изучение арифметики можно проводить уже с шестилетками, у которых письмо заменялось выкладыванием карточек с цифрами и знаками.