Будем называть упругим телом такое тело, у которого напряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации
(2.1)
Назовем путем нагружения или соответственно путем деформирования процесс изменения тензора напряжений или тензора деформаций в зависимости от некоторого монотонно возрастающего параметра, который назовем «временем». На самом деле реальное время при определении модели упругого тела никакой роли не играет. Употребляя этот термин, мы говорим лишь о последовательности событий, но не об их временной протяженности.
Для наглядности тензор напряжений или тензор деформаций можно изобразить векторами, составляющие которых равны компонентам соответствующих тензоров:
Тогда векторы σ и ε служат изображениями тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение не единственно. Можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров 
и 
. Ильюшин ввел пятимерные пространства для девиаторов напряжений и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых.
Пути нагружения или деформирования, таким образом, могут быть представлены как кривые, описываемые концами векторов σ и ε соответствующих пространствах. Закон упругости, то есть уравнения (2.1), устанавливают, в частности, что замкнутому пути деформирования соответствует замкнутый путь нагружения, и наоборот.
Рассмотрим теперь класс упругих материалов, для которых работа, произведенная над элементарным объемом в замкнутом цикле по деформациям или напряжениям, равна нулю. Немеханические потери энергии при этом отсутствуют. Исключается влияние термических эффектов.
Введем понятие удельной потенциальной энергии деформаций, как работы, совершаемой при деформации единицы объема тела:
Изменение внутренней энергии (ввиду симметрии тензоров и ) можно записать в развернутом виде:
(2.2)
Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле будет
Для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение представляло собой полный дифференциал, т. е.
(2.3)
Удельная потенциальная энергия деформации U() является однозначной функцией деформаций; она называется также упругим потенциалом. Но, с другой стороны, и выражение
является полным дифференциалом, так как
dU + dU* = 
Поэтому
(2.4)
Величина U* 
называется дополнительной удельной энергией деформации и является упругим потенциалом по напряжениям. Для введенных энергий справедливы общие соотношения
Значение величин U и U* для нелинейно-упругого материала можно наглядно пояснить на примере одноосного напряженного состояния (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Из рисунка видно, что величины
, 
дополняют друг друга до прямоугольника площади 
под кривой напряжения-деформации и соответственно над этой кривой. Допущение о существовании удельной потенциальной энергии деформации находится в соответствии с допущением об обратимости рассмотренных процессов деформации и определяет тем самым упругое поведение материалов. Но оно не означает обязательно линейную связь между напряжениями и деформациями. Линейность вводится лишь законом Гука.
Требование однозначной разрешимости уравнений (2.3) относительно деформаций эквивалентно условию выпуклости поверхностей U(
) = const или 
(
) = const в пространствах деформаций и напряжений соответственно. Действительно, соотношение (2.3), например, означает, что вектор 
направлен по нормали к поверхности U = const. Если эта поверхность строго выпукла, то заданному направлению нормали соответствует лишь одна точка поверхности.
Удельная потенциальная энергия деформации является положительно определенной величиной. Это свойство используется, например, для доказательства единственности решения линейной задачи теории упругости. Кроме того, на этом основаны теоремы о минимуме потенциальной энергии и максимуме дополнительной энергии.