Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса

Введение

Системы линейных уравнений возникают при решении многих прикладных задач. Матрицы коэффициентов систем линейных уравнений могут иметь различные структуру и свойства. Мы будем полагать, что решаемая система имеет плотную матрицу высокого порядка. Линейная система n уравнений с n неизвестными x0, x1, …, xn-1 может быть представлена в виде:

В более кратком (матричном) виде система имеет вид

a*x = b

где A=a(i,j) есть вещественная матрица размера n×n, а вектора b и x состоят из n элементов.

Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b обычно понимается нахождение значения вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения системы.

Метод Гаусса является широко известным прямым алгоритмом решения систем линейных уравнений, для которых матрицы коэффициентов являются плотными. Если система линейных уравнений является невырожденной, то метод Гаусса гарантирует нахождение решения с погрешностью, определяемой точностью машинных вычислений. Основная идея метода состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных преобразований (не меняющих решение системы) к треугольному виду, после чего значения искомых неизвестных может быть получено непосредственно в явном виде.

Историческая справка

Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

На первом этапе (прямой ход) система приводится ступенчатой или треугольной форме. Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на такое число, чтобы обнулился коэффициент при x1. Затем таким же образом вычтем первое уравнение из третьего, четвертого и т.д. Тогда исключаются все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали. Затем при помощи второго уравнения исключим из третьего, четвертого и т.д. уравнений коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, исключим из матрицы все коэффициенты, лежащие ниже главной даигонали.

На втором этапе (обратный ход) выражаем все получившиеся базисные переменные через небазисные и построим фундаментальную систему решений. Если все переменные являются базисными, то получим единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

где

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

1-й шаг.

Будем считать, что элемент (если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i-й строке, для i=2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:

Здесь – новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом а₁₁ 0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а₂₂(1) (если _a22(1) 0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.

Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).