С физической точки зрения производная — это скорость изменения переменной величины. Термин «скорость» настолько вошел в нашу жизнь, что мы порой не задумываемся над его смыслом и воспринимаем его только в связи с движением. На самом деле «скорость» характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, поэтому в приложениях физики, химии, геометрии и др. производная имеет широкое практическое применение, что мы и видим в таблице.
| υ(t) = s¢(t) | Скорость – производная по времени от перемещения |
| a (t)=υ¢(t) | Ускорение – производная от скорости |
| W (t)= φ¢(t) | Угловая скорость - производная от угла поворота |
| I (t) = q¢(t) | Сила тока есть производная от заряда по времени |
| N(t) = A¢(t) | Мощность есть производная работы по времени |
| С(t) = Q¢(t) | Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре |
Решение прикладных задач:
1) Тело, масса которого 5кг, движется прямолинейно по закону 
, где S- измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.
Решение:
Кинетическая энергия тела определяется по формуле 
Находим скорость: 
При t=10 с, получаем 
(м/с)
(Дж)
Ответ: 902,5 Дж.
2) Тело, масса которого 2 кг, движется прямолинейно по закону
, где s(t) – путь в (м). Найти силу, действующую на тело в момент времени t=3 секунды
Решение:
По второму закону Ньютона действующая на тело сила равна F=m·a
Находим ускорение 
При t=3 c получаем: 
(м/с2)
F=2·22=44 (H)
Ответ: 44Н
3) Маховик за время t поворачивается на угол 
, где t – в секундах, φ - в радианах. Определить угловую скорость W в конце 3-й секунды.
Решение:
Находим угловую скорость 
При t=3 получаем: 
(рад/с).
Ответ: 
(рад/с).
4) Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0 задается формулой 
. Найти силу тока в конце 3-й секунды.
Решение:
Сила тока есть производная от количества электричества по времени, поэтому находим: 
Вычисляем ее значение при t=3 секунды: 
(А)
Ответ: 49 А
5) Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании его от 0 до T, определяется по формуле 
, где Q – в джоулях, T – в кельвинах. Найти теплоемкость вещества при 100 К
Решение:
Теплоемкость C есть производная от количества теплоты по температуре, поэтому находим:
При T=100K, получаем:
(Дж/К)
Ответ: 
(Дж/К)
Задачи для самостоятельного решения:
1) Тело, масса которого 3 кг, движется прямолинейно по закону
, где s(t) – путь в (м). Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 секунды.
2) Тело, масса которого 10кг, движется прямолинейно по закону
, где S- измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 5с после начала движения.
3) Количество теплоты Q, получаемой некоторым веществом при нагревании его от 0 до T, определяется по формуле 
, где Q – в джоулях, T – в кельвинах. Найти теплоемкость вещества при 20 К
4) Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0 задается формулой 
. Найти силу тока в момент времени 
5) Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол 
, где t– в секундах, φ - в радианах. Определить угловую скорость W в момент времени t =2 секунды.
6) Работа A, совершаемая телом за время t, задается уравнением 
, где А – в джоулях. Найти мгновенную мощность в момент времени t =3 секунды.