Интерференция света при отражении от тонких пластинок

Лекция 2

При отражении от плоскопараллельной пластинки. Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает плоская мо­нохроматическая световая волна, направление распространения которой показано падающим лучом на рис.12. В результате отражений от обеих поверхностей пластинки исходная волна расщепится на две, что и показано лучами 1 и 2. Амплитуды этих волн мало отличаются друг от друга — это важно для полу­чения достаточно контрастной интерференции.

 

 

Рис.12

Оптическую разность хода волн 1 и 2 опре-делим, согласно рис.12, как

= n (AB+BC) ─AD, (20)

где n —показатель преломления вещества пластинки.

Кроме того, видно, что AB=BC= 2b/cos и AD=2btg ·sin , b – толщина пластинки. В результате подстановки этих выраже­ний в (20) получим

= 2 nbcos (21)

Следует также учесть, что при отражении от верхней поверхно­сти пластинки (от среды, оптически более плотной) происходит скачок фазы на у отраженной волны, т. е., как говорят, «потеря» полуволны(± λ /2) Учитывая еще, что sin = n sin , получим

= 2b - λ/2 (22)

(здесь можно было написать и +λ/2,но это не существенно).

Так как отраженные волны 1 и 2 когерентны между собой, то максимумы отражения будут на­блюдаться при условии,

2b - λ /2 = mλ (23)

где m — целое число (порядок интерференции).

Меняя угол падения , мы будем наблюдать последователь­ную смену максимумов и минимумов отражения. (Заметим, что при минимуме отражения наблюдается максимум проходящего через пластинку света, и наоборот.) Если бы обе отраженные волны были некогерентными, то такого явления мы не наблю­дали бы: по мере увеличения угла падения интенсивность отра­женного света монотонно уменьшалась бы.

Теперь выясним условия, при которых отраженные волны будут когерентными и смогут интерферировать, т. е. выполня­ются соотношения (13) и (14)(cм.лекцию 1).

Проиллюстрируем ситуацию с помощью рис.13. Выделим в падающей волне некоторую область когерентности l _ког· h _ког (она слегка затенена на рисунке). После расщепления падающей волны расщепится и выделенная область когерентности, причем так, что в отражен­ных волнах эти области когерентности сместятся относительно друг друга (рис.13,а). Если они при этом перекрываются (на рисунке более темный участок), интерференция будет наблюда­ться и тем более отчетливо, чем больше степень перекрытия.

 

Рис.13

Для пластинки с большей толщиной об­ласть перекрытия когерентных участков уменьшается (рис.13,б), и интерференция будет наблюдаться все менее от­четливо. Начиная с некоторой толщины пластинки итерференция исчезнет совсем.

Из рис.13видно, что смещение расчлененных частей об­ласти когерентности происходит как вдоль распространения волны (оно не должно превосходить длину когерентности l _ког), так и поперек распространения волны (смещение не должно превосходить ширину когерентности h _ког). Интерференция бу­дет наблюдаться лишь в том случае, когда будут удовлетворены оба эти условия. Для лучшей видности возьмем значения l _ког /2 и h _ког /2

Перейдем к расчету. Согласно (13), необходимо, чтобы оп­тическая разность хода ≤ l _ког/2 Следовательно,

2 b - λ /2 ≤ l _ког/2 (24)

Для оценки необходимого значения толщины пластинки b бу­дем считать, что корень в этом выражении равен величине по­рядка единицы (что обычно и бывает), а также пренебрежем λ /2. Тогда получим

2b≤ l _ког/2

т. е. необходимо, чтобы удвоенная толщина пластинки была не более половины длины когерентности используемого излуче­ния. Например, если λ = 600 нм, а = 3 нм, то толщина плас­тинки

b ≤ λ²/4 λ = 3·10⁴ нм = 30мкм

Далее, поперечный сдвиг частей области когерентности не дол­жен превосходить половины ширины когерентности h_ког. Этот сдвиг, как видно из рис. 14, равен отрезку DC. Значит, необ­ходимо, чтобы. Из рис. 14 следует, что

DC = 2 btg · cos = b

 

Это смещение существенно зависит от угла падения . Чем ме­ньше угол падения, тем меньше смещение DC, тем меньше мо­жет быть h_ког. И основную роль в этом случае будет играть дли­на когерентности. При = 0 смещение происходит только вдоль распространения волн, поперек — оно равно нулю, и ширина когерентности h_ког становится практически не существенной.

Обратимся к вопросу, что следует понимать под словами «тонкая» пластинка. Когда говорят, что интерференция проис­ходит при отражении от тонкой пластинки, то имеют в виду, что ее толщина меньше (в той или иной степени) l _ког и h_ког (если 0). Причем — это важно — при нормальном падении интер­ференция обеспечивается только соотношением между толщи­ной пластинки и l _ког.

Для солнечного света (l _ког ≈ 5λ.) пластинка будет тонкой, если ее толщина порядка нескольких длин волн. Длину коге­рентности можно увеличить с помощью светофильтров, соот­ветственно увеличивается и толщина пластинки, которую мы называем тонкой. Для лазерного же излучения тонкой будет пластинка в десятки сантиметров и метров (в зависимости от длины когерентности излучения используемого лазера).

Итак, мы выяснили, что при падении плоской световой вол­ны на плоскопарал-лельную тонкую пластинку интенсивность отраженного света зависит от угла падения. Изменяя этот угол, мы будем наблюдать чередование максимумов и минимумов от­раженного света.

 

 

 

 

Рис.14

Это можно использовать для получения ин­терференционной картины в виде привычной системы полос. Достаточно использовать в качестве падающего рассеянный мо­нохроматический свет (он содержит волны, падающие на плас­тинку одновременно под разными углами), а на пути отражен­ного света поставить линзу и в ее фокальной плоскости экран(рис.14).Максимумы на экране будут располагаться в местах, соот­ветствующих условию (23). Полоса данного порядка интерфе­ренции обусловлена светом, падающим на пластинку под од­ним и тем же углом θ, но с разных направлений. Поэтому та­кие полосы называют полосами равного наклона. При расположении линзы как показано на рисунке, эти полосы имеют вид концентрических колец с центром в ее фокусе F. По­рядок интерференции m растет с уменьшением угла падения , и в центре картины он максимален.

Поскольку для наблюдения интерферен-ционной картины в данном случае экран помещают в фокальной плоскости линзы, т. е. так, как его располагают для получения на нем изображения бесконечно удаленных предметов, то говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Роль линзы и экрана может играть хрусталик и сетчатка глаза. В этом случае для на­блюдения полос равного наклона глаз нужно аккомодировать (на­страивать) так, как при рассмотрении удаленных предметов.

В белом свете интерференционные полосы окрашены. Поэто­му такое явление называют цвета тонких пластинок.

Клиновидные пластинки. Пусть стеклянная пластинка име­ет форму клина с углом раствора «1, и на нее падает плоская монохроматическая световая волна. Теперь отраженные от по­верхностей клина световые волны будут распространяться не в одном направлении, а под некоторым углом (рис.15).

 

 

Рис.15 Рис.16

Выясним, где будет локализована интерферен­ционная картина. Это проще всего сделать с помощью рис. 16, на котором показано, что происходит с областью ко­герентности после расщепления волны при отражении от поверхностей клина. При небольших значения l _ког и h_ког область перекрытия когерентных частей отраженных волн ло­кализована в основном вблизи поверхности клина и становится все более узкой по мере перемещения в сторону утолщения клина, постепенно исчезая совсем (рис.17). На рисунке об­ласть локализации несколько затемнена.

 

Рис.17.

Так как разность хода лучей, отразившихся от различных участков клина, неодинакова, в области локализации интерфе­ренции появятся светлые и темные полосы, параллельные реб­ру клина. Каждая из таких полос возникает в результате отра­жений от участков клина с одинаковой толщиной, поэтому их называют полосами равной толщины.

Локализованные вблизи поверхности клина интерференционные полосы мож­но наблюдать непосредственно глазом, фокусируя его на поверхность клина, либо с помощью линзы, сфокусирован­ной также на поверхность клина. С по­мощью линзы интерференционную кар­тину с поверхности клина можно отобразить на экран Э, расположенный в плоскости, сопряженной с поверхностью клина (см. рис. 17).

Полосы равной толщины можно наблюдать в тонкой клино­видной прослойке воздуха между поверхностями двух прозрач­ных пластинок. Если направление наблюдения близко к нормаль­ному, то оптическая разность хода лучей, отраженных от поверх­ностей клина в месте, где ширина зазора равна b, определяется как =2b-λ/2 Там, где =(m-1/2)λ, m = 1, 2,..., возникают минимумы. Т. е. темные полосы возникают в тех местах, где тол­щина зазора b = mλ /2. Переход от одной полосы к соседней (ши­рина полосы х) соответствует изменению толщины зазора на λ. /2. Каждая полоса соответствует определенной толщине зазора. Это используют для проверки качества оптических поверхностей при их шлифовке, наблюдая в отраженном свете прослойку меж­ду контролируемой и эталонной поверхностями.

Измеряя ширину полосы х в монохро-матическом свете с известной длиной волны λ, можно измерить углы порядка 0,1 угл. мин и меньше.

В предыдущих рассуждениях мы принимали во внимание только волны, отраженные от поверхностей воздушного клино­видного зазора, игнорируя волны, отраженные от наружных поверхностей пластинок. Это можно сделать лишь постольку, поскольку толщина пластинок обычно значительно превышает длину когерентности используемого света от обычных источни­ков, и отраженные от этих поверхностей волны оказываются некогерентными.

Кольца Ньютона — это кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые при отраже-нии света от по­верхностей зазора между стеклянной пла­стинкой и соприкасающейся с ней выпук­лой линзой (рис. 18).

 

 

 

Рис. 18

Волна, отраженная от верхней поверхности линзы, в силу не­большой длины коге-рентности обычных источников света, некогерентна с волнами, отраженными от поверхностей зазора,и участия в образовании интерференционной картины не прини­мает. Поэтому ее и учитывают.

При нормальном падении света кольца в отраженном свете имеют вид концентрических окружностей с центром в точке со­прикосновения линзы с пластинкой. Найдем радиусы r темных колец (минимумов).Сначала запишем условие образования темных колец. Они возникают там, где оптическая разность хода волн, отражен­ных от обеих поверхностей зазора, равна нечетному числу полу­волн:

= 2 b + λ /2=(2 m +1) λ /2

где λ /2 связано с «потерей» полуволны при отражении от плас­тинки и m = 0, 1, 2,... Отсюда

2 b=mλ ( 25 ) Далее, согласно теореме Пифагора (см. рис. 18), Учитывая, что b «R, получим

r² = 2bR (26)

Из (25) и (26) следует, что радиус m -го темного кольца

r = , m =0,1,2,... (27)

Значению m = 0 соответствует минимум темного пятна (не кольца). Аналогичный расчет можно провести и для светлых колец.

Пример. Найдем радиус 5-го светлого кольца, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 16 см и контакт ее с плос­кой поверхностью стекла идеальный (в точке). Длина волны света λ = 0,50 мкм.

Условие максимумов в данном случае имеет вид

2 b + λ /2 = mλ

где b — толщина зазора в месте m -ro максимума (заметим, что если бы мы взяли - λ /2, то значения m надо было начи­нать с нуля). Согласно (26),

2 b = r_m²/R.

Из этих двух соотно­шений следует, что искомый радиус

r_m = =0,6мкм

Следует обратить внимание на то, что формула (27) спра­ведлива лишь в случае идеального (точечного) контакта сфери­ческой поверхности линзы с пластинкой. Но идеальных кон­тактов не бывает, номера колец не равны, вообще говоря, по­рядку интерференции m, и это обстоятельство необходимо учитывать при расчетах. Если линзу постепенно отодвигать от поверхности пластин­ки, то интерференционные кольца будут стягиваться к центру: это ведь кольца (полосы) равной толщины, а она при этом пере­мещается к центру.

С помощью колец Ньютона можно с достаточно высокой точ­ностью контролировать качество изготовления, например, сфе­рических поверхностей.