МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫСОВЕРШЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Основные понятия и определения
Основой большинства финансовых расчетов являются процентные деньги или проценты. С экономической точки зрения «процент» представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.
Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентная ставка (r) — это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).
Наращение (рост) первоначальной суммы долга — это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).
Множитель (коэффициент) наращения (kн) — это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления - это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.
Интервал начисления — это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Существуют два способа определения и начисления процентов.
1. Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала (Р). В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение
2. Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Антисипативная ставка (учетная ставка) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала (F). В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процентов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.
Учетная ставка - ставка процента, под который федеральная резервная система, центральный банк предоставляет кредиты коммерческим банкам для пополнения их денежных резервов и кредитования клиентов. Чем выше учетная ставка ЦБ, тем более высокий процент взимают банки за предоставляемый ими кредит, и наоборот.
Концепция стоимости денег во времени играет основополагающую роль в практике финансовых вычислений. Она предопределяет необходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосрочных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли.
В процессе сравнения стоимости денежных средств при их инвестировании и возврате принято использовать два основных понятия - будущая стоимость денег и их настоящая стоимость.
Будущая стоимость денег (FV) - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения этой стоимости.
Наращение стоимости денег (компаундинг) – процесс приведения настоящей стоимости денег к их будущей стоимости присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов (процентных платежей). Эта сумма рассчитывается по процентной ставке. В инвестиционных расчетах ставка применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени доходности инвестиционных операций.
Настоящая стоимость денег (РV) - сумма будущих денежных поступлений, приведенных с учетом определенной ставки процента (так называемой "дисконтной ставки") к настоящему периоду. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования этой стоимости.
Дисконтирование стоимости денег – процесс приведения будущей стоимости денег к их настоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответствующей суммы процентов («дисконта»). В этом случае сумма процента (дисконта) вычитается из конечной суммы (будущей стоимости) денежных средств.
Такая ситуация возникает в тех случаях, когда необходимо определить, сколько средств необходимо инвестировать сегодня для того, чтобы через определенный период получить заранее обусловленную их сумму.
При проведении финансово-экономических расчетов, связанных с инвестированием средств, процессы наращения и дисконтирования стоимости могут осуществляться как по простым, так и по сложным процентам.
Простым процентом называется сумма, которая начисляется при первоначальной (настоящей) стоимости вклада в конце одного периода платежа.
Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в последующем платежном периоде сама приносит доход.
2. Простые ставки ссудных процентов
Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Простые ставки ссудных процентов также могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.
Будущая стоимость денежных средств определяется по формуле:
(1)
На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину F.
Из формулы (1) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:
(2)
При N интервалах начисления наращенная сумма составит
(3)
Для множителя наращения, следовательно, имеем
(4)
Пример 1
Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение
F= 50 000 (1 + 0,5.0,28) = 57 000 (руб.).
Пример 2
Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год — 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.
Решение
kн = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0.26 + 0,25) = 1,975.
F=20 000 000 * 1,975 = 39 500 000 (руб.).
Пример 3
Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.
Решение
n = (40 000 000 - 25 000 000)/(25 000 000.0,28) = 2,14 года.
Пример 4
Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.
Решение
r = (30 000 000 - 24 000 000)/(24 000 000 *1) = 0,25 = 25%.
Пример 5
Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.
Решение
По формуле (9) (операция дисконтирования) имеем
Р = 40 000 000 / (1 + 250/365 * 0,26) = 33 955 857 (руб)
Из формулы (4) получаем
I = 40 000 000 - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).
3. Простые учетные ставки
При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег.
Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.
Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.
Введем новые обозначения:
d(%) — простая годовая учетная ставка;
d — относительная величина учетной ставки;
Dг — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;
D — общая сумма процентных денег
Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:
Будущая стоимость денежных средств определяется по формуле:
(5)
(6)
Операция дисконтирования выражается формулой:
(7)
Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:
(8)
(9)
Пример 6
Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000 руб.
Решение
Р = 30 000 000 (1 - 0,5 • 0,2) = 27 000 000 (руб.).
Далее D = F - Р = 30 000 000 - 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).
Пример 7
Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.
Решение
n = (40 000 000 - 35 000 000)/(40 000 000 • 0,25) = 0,5 года.
Пример 8
Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается в ссуду на полгода.
Решение
d = (10 000 000 - 9 000 000)/(10 000 000 • 0,5) = 0,2 = 20%.
4. Сложные ставки ссудных процентов
Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма, в соответствии с формулой (1), составит
где r - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов.
Еще через год это выражение применяется уже к сумме F 1.
и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит
(10)
Если на последовательных интервалах начисления n1, n2,..., nN используются различные ставки процентов, то будущая стоимость денег составит
где N – число интервалов начисления.
При т равных интервалах начисления формула для определения наращенной суммы примет вид:
где mn — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Ставка сложного процента будет определяться по формуле