Практическая работа № 13
Тема: Нахождение асимптот кривой.
Цель: Проверить на практике знания понятия производной функции, умение применять их для решения задач, умение находить асимптоты функции.
Теоретический материал и примеры нахождения асимптот функции.
Существует три вида асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Вертикальная асимптота 
.
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции 
, если хотя бы один из пределов 
(правый предел) или (левый предел) равняется 
или 
, т.е. 
(рис. 2).
Очевидно, прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывная в точке , потому что в этом случае 
. Итак, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения 
, если 
и 
- конечные числа.
Горизонтальная асимптота 
.
Определение. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы 
или 
(рис. 3).
Если конечен только один из пределов 
или 
, то функция имеет лишь одну правостороннюю 
или левостороннюю 
горизонтальную асимптоту. Если 
= 
= , то говорят просто о горизонтальной асимптоте. В том в случае, когда 
, то функция не имеет соответствующей горизонтальной асимптоты, но может иметь наклонную асимптоту.
Наклонная асимптота 
.
Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если функция определена при достаточно больших 
и существуют конечные пределы 
(рис. 4).
Если, хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то график исследуемой функции не имеет соответствующей наклонной асимптоты.
Методические рекомендации решения задач
Пример № 1. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции 
Решение.
Очевидно, что область определения функции 
. Вертикальные асимптоты ищем в точках разрыва функции 
. Таким образом, прямая 
может быть вертикальной асимптотой данной функции. Вычисляем границы
и 
Из этого вытекает, что прямая 
является вертикальной асимптотой графика исследуемой функции.
Найдем горизонтальную асимптоту . Вычисляем пределы, используя правило Лопиталя. Получим
= 
. Поэтому, что = = , то график функции имеет только одну горизонтальную асимптоту.
Пример № 2. Найти асимптоты графика функции 
Решение.
Очевидно, что график функции не имеет ни вертикальных асимптота (нет точек разрыва), ни горизонтальных асимптот 
.
Найдем наклонную асимптоту. Вычисляем границы 
и , 
.
Таким образом, правая наклонная асимптота имеет вид 
. Очевидно, что левая наклонная асимптота будет иметь те же значения, что и правая, а это значит, что график исследуемой функции имеет одну наклонную асимптоту.
Пример № 3. Найти асимптоты графика функции 
Решение: Исследуем функцию сначала на наличие наклонной асимптоты. Найдем 
и пределы
, 
.
Прямая 
является наклонной асимптотой графика функции 
при 
, а также прямая также является асимптотой графика функции при 
. Проверим наличие вертикальных асимптот.
Точка 
является точкой разрыва функции. Найдем предел
, он равен бесконечности, поэтому прямая (ось 
) является вертикальной асимптотой.
Построение асимптот видим на рисунке
Пример № 4. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение: Найдем пределы 
и
, вычислив, получим 
.
Подставляя найденные значения 
и 
в уравнение наклонной асимптоты, получим уравнение 
. Точка 
это точка разрыва функции. Найдём предел 
, поэтому прямая является вертикальной асимптотой.
Самостоятельная работа
| 1 Вариант | 2 Вариант |
1. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции 
2. Найти асимптоты графика функции  .
| 1. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции 
2. Найти асимптоты графика функции  .
|
Контрольные вопросы:
1. Что называется асимптотой?
2. Что называется горизонтальной асимптотой?
3. Что называется вертикальной асимптотой?
4. Что называется наклонной асимптотой?