Правильная усечённая пирамида — многогранник, образованный правильной пирамидой и её сечением, параллельным основанию.
(Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы)
, где 
— площади оснований, а 
— двугранный угол при основании пирамиды.
Усеченная пирамида
Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.
Свойства усеченной пирамиды:
Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.
Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.
Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды
Пусть 
— высота усеченной пирамиды, 
и 
— периметры оснований усеченной пирамиды, 
и 
— площади оснований усеченной пирамиды, 
— площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, 
— площадь полной поверхности усеченной пирамиды, 
— объем усеченной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:
.
Если все двугранные углы при основании усеченной пирамиды равны 
, а высоты всех боковых граней пирамиды равны 
, то
Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.
Задача 1.
В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.
Решение.
Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА1В1С1, изображенную на рисунке1.
1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле
V = 1/3H · (S1 + S2 + √(S1 · S2)), где S1 – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.
Имеем: p1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.
S1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.
2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:
S1/S2 = (P1)2/(P2)2 = 1082/722 = 9/4. Отсюда S2 = 4S1/9 = 4 · 270/9 = 120.
Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.
Ответ: 1900.
Задача 2.
В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1: 2?
Решение.
Рассмотрим АВСА1В1С1 – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.
Так как в основаниях стороны относятся как 1: 2, то площади оснований относятся как 1: 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1).
Тогда объем усеченной пирамиды равен:
V = 1/3h · (S1 + S2 + √(S1 · S2)) = 1/3h · (4S2 + S2 + 2S2) = 7/3 · h · S2, где S2 – площадь верхнего основания, h – высота.
Но объем призмы АDEA1B1C1 составляет V1 = S2 · h и, значит,
V2 = V – V1 = 7/3 · h · S2 - h · S2 = 4/3 · h · S2.
Итак, V2: V1 = 3: 4.
Ответ: 3: 4.
Задача 3.
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.
Решение.
Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА1В1С1D1, изображенную на рис. 3.
Обозначим О1О2 = х, тогда ОО₂ = О1О – О1О2 = 3 – х.
Рассмотрим треугольник В1О2D1 и треугольник ВО2D:
угол В1О2D1 равен углу ВО2D как вертикальные;
угол ВDO2 равен углу D1B1O2 и угол O2ВD равен углу B1D1O2 как накрест лежащие при B1D1 || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.
Следовательно, треугольник В1О2D1 подобен треугольнику ВО2D и имеет место отношение сторон:
В1D1/ВD = О1О2/ОО2 или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.
Рассмотрим треугольник В1D1В и треугольник LО2B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B1D1 || LM, значит, треугольник В1D1В подобен треугольнику LО2B, откуда В1D: LO2 = OO1: OO2 = 3: 2, т.е.
LO2 = 2/3 · B1D1, LN = 4/3 · B1D1.
Тогда SKLMN = 16/9 · SA1B1C1D1 = 16/9.
Итак, V1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.
V2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.
Ответ: 152/27; 37/27.