В прямоугольном волноводе

В прямоугольном волноводе могут распространяться электрические и магнитные волны - собственные моды волновода. Специфической особенностью любого закрытого волновода независимо от формы его поперечного сечения и диэлектрического заполнения, является дискретный характер спектра собственных мод, являющихся решениями уравнений Гельмгольца (1).

Найдем решение уравнений (1) при следующих граничных условиях:

(3)

где a и b - поперечные размеры волновода (см. рис. 1).

Решениями уравнений являются выражения для компонент электромагнитного поля для электрических и для магнитных волн. Электрические волны:

(4)

Магнитные волны:

(5)

Каждая мода имеет свою дисперсионную кривую, определяемую дисперсионным уравнением. Спектр продольных волновых чисел для прямоугольного волновода:

, (6)

где k - волновое число в неограниченном пространстве; ; m, n = 0;1;2;… - поперечное волновое число в волноводе.

Каждое из значений b mn соответствует моде E mn или H mn, называемой собственной, модальные индексы m и n характеризуют число вариаций компонент поля вдоль осей x и y соответственно. Поле в поперечном сечении волновода представляет собой стоячие волны. Индекс m показывает сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль широкой стенки волновода, а модальный индекс n - вдоль узкой стенки волновода.

Введем для продольного и поперечного волновых чисел следующие соотношения:

,

где λви V ф- длина волны и фазовая скорость волны в волноводе; - скорость света в среде с электрофизическими параметрами εrи mr; с = 3×108м/с - скорость света в вакууме; - критическая длина волны.

Перепишем продольное волновое число с учетом введенных обозначений

(7)

и выведем соотношения для длины волны и фазовой скорости

(8)

(9)

где:

. (10)

Критические частота f кри длина волны lкропределяют диапазон рабочих частот и длин волн волновода. Собственную моду волновода, имеющую минимальную критическую частоту (частоту отсечки), или максимальную критическую длину волны, называют основной модой волновода. Для прямоугольного волновода основной модой является волна H10. Существованию единственной - основной - моды соответствует одномодовый режим работы волновода.

Волновод, работающий в режиме отсечки (при частотах ниже критической) для всех мод, называют запредельным волноводом.

Анализ структуры электромагнитного поля любой волны высшего типа следует начинать с преобразования системы уравнений (4) или (5) с учетом конкретных значений индексов m и n рассматриваемой волны. После этого следует изобразить картины силовых линий векторов E и H данной волны.

Большую помощь в решении этой задачи может оказать следующее правило. Структуру поля волны Н₁₀ можно считать базовой при построении картин силовых линий векторов E и H собственных волн Н_m0 и Н_0n. Так, например, для волны Н₂₀ картина силовых линий векторов E и H в поперечном сечении волновода получается путем двукратного воспроизведения базовой структуры вдоль широкой стенки волновода (с учетом фазовых соотношений соседних структур); для волны Н₃₀ – трехкратным воспроизведением, и т. д. Для волны Н₀₁ базовая структура будет повернута на угол 90°; для волны Н₀₂ – повернута на 90° и воспроизведена дважды и т.д. (см. рис. 4).

Рис. 4. Силовые линии векторов E и H для различных типов волн:

а – для волны Н₂₀, б – для волны Н₃₀

Несколько сложнее решается задача построения картины силовых линий векторов E и H собственных волн, у которых индексы m и n оба не равны нулю. В этом случае необходимо сначала построить картину силовых линий волны Н₁₁, которая затем, в зависимости от конкретных значений индексов m и n, будет воспроизводиться требуемое число раз вдоль широкой и узкой стенок волновода. Таким образом, для собственных волн типа Н _mn базовой структурой является структура поля волны Н₁₁ (рис. 5).

Рис. 5. Силовые линии векторов E и H для волны Н ₁₁

При построении картин силовых линий векторов E и H собственных волн Е _mn базовой является структура поля собственной волны E ₁₁. Картина силовых линий векторов E и H этой волны в поперечном сечении волновода изображена на рис. 6.

Рис. 5. Силовые линии векторов E и H для волны E ₁₁

Волновое сопротивление собственных мод в прямоугольном волноводе вводится как отношение поперечных к направлению распространения волны компонент комплексных амплитуд векторов поля волны:

. (11)