Входное сопротивление линии

Входное сопротивление линии, измеренное в произвольной точке на расстоянии y от конца линии, определяется отношением:

В начале линии:

Вместо y подставим l и заменим на

Тогда

Для согласованной нагрузки (Z ₂ = Z _B):

В том случае, когда к концу линии без потерь присоединено сопротивление, равное волновому, на любом отрезке линии соблюдается

Это условие справедливо и для линии без искажений.

При этом вся энергия, доставляемая падающей волной, поглощается в сопротивлении нагрузки.

Если сопротивление нагрузки отличается от волнового, то в месте присоединения нагрузки энергия перераспределяется между полями, в результате чего возникают отражения.

В предельном случае, когда линия разомкнута, т.е. при х.х.

I₂ = 0, падающая волна встречает бесконечно большое сопротивление, ток в конце линии обращается в нуль, т.е. I₂ = 0 и, соответственно, энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля. Напряжение на разомкнутом конце линии удваивается и возникает отраженная волна того же знака, что и падающая.

Входное сопротивление при х.х.:

При изменении расстояния y от конца линии будет изменяться следующим образом.

 

В интервале значений βy от 0 до изменяется от 0 до , поэтому имеет емкостной характер, т.к. (–j) и по модулю изменяется от до 0. В интервале βy от до π отрицателен и изменяется от до 0, поэтому изменяется от 0 до и имеет индуктивный характер (+j) и т.д.

Таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины.

Практически это свойство используется при высокой частоте в различных радиотехнических установках.

В другом предельном режиме, когда линия на конце замкнута накоротко, падающая волна встречает сопротивление, равное нулю, напряжение в конце линии обращается в нуль и, соответственно, энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля. Ток в конце линии удваивается и возникает отраженная волна, знак которой противоположен знаку падающей волны.

Входное сопротивление при к.з.:

В интервале βy от 0 до положителен и изменяется в интервале от 0 до и,следовательно, сопротивление имеет индуктивный характер и изменяется от 0 до . При изменении βy от до π входное сопротивление имеет емкостной характер и изменяется от до 0. В точке βy = изменяется скачком от до .

Стоячие волны

В длинной линии без потерь () при холостом ходе (ХХ), коротком замыкании (КЗ) и чисто реактивном характере нагрузки возникают стоячие электромагнитные волны из-за наложения и интерференции падающей и отраженной волны одинаковой интенсивности, при этом активная мощность в конце линии равна нулю.

Стоячая электромагнитная волна представляет собой электромагнитную волну, полученную в результате наложения движущихся навстречу падающей и отраженной волн одинаковой интенсивности.

Кривые действующих значений напряжения и тока вдоль линии представляют собой в этом случае выпрямленные синусоиды. На линии образуются узлы, т.е. точки, в которых напряжение и ток равны нулю (функции проходят через ноль) и пучности, т.е. точки, где напряжение и ток максимальны.

Сдвиг во времени между стоячими волнами тока и напряжения равен 90⁰, сдвиги в пространстве – четверти длины волны, т.е. узлы напряжения совпадают с пучностями тока и наоборот, узлы тока совпадают с пучностями напряжения.

При возникновении стоячих волн электромагнитная энергия от начала к концу линии не передается. Однако на каждом отрезке линии, равном четверти длины волны, запасена некоторая электромагнитная энергия.

Эта энергия периодически переходит из одного вида энергии (энергия электрического поля) в другой (энергию магнитного поля). В моменты времени, когда ток вдоль линии равен нулю, а напряжение максимально, вся энергия переходит в энергию электрического поля. И когда напряжение по всей линии равно нулю, а ток максимален, вся энергия переходит в энергию магнитного поля.

Стоячие волны легко исследуются с помощью уравнений линии без потерь.

 

1) Рассмотрим случай холостого хода (). [Если граничные условия заданы в оконечном сечении ДЛ (у=0), то в режиме ХХ уравнения ДЛ имеет вид:

Умножая левые и правые части уравнений приведенной системы на ,и переходя от комплексов напряжений и токов к их проекциям на ось мнимых чисел или мгновенным значениям, получаем:

Из данного выражения следует, что математически стоячие волны (СВ) выражаются как произведения двух тригонометрических функций зависящих от разных параметров. Аргумент одной из них зависит только от времени (), а другой только от координаты (у), при СВ тока и напряжения сдвинуты во времени на , а в функции координаты – на четверть длины электромагнитной волны .

Входное сопротивление ДЛ в режиме холостого хода, в соответствии с уравнениями приведенной системы, найдем, как:

где – фазовая постоянная ДЛ; – длина линии; – волновое сопротивление ДЛ; – длина электромагнитной волны; – текущая координата отсчитываемая от конца ДЛ в (пределе ); – фазовая скорость.

Полное входное сопротивление ДЛ в режиме холостого хода имеет чисто реактивный (емкостной) характер (рис.9.2). При этом мощность падающей электромагнитной волны нигде не расходуется и после отражения в оконечном сечении ДЛ полностью возвращается к генератору, т.е. ДЛ в режиме ХХ обменивается реактивной мощностью с источником энергии.

Анализ уравнений системы для напряжения и тока и уравнения для входного сопротивления показывает, что если координата « » принимает значения кратные четверти длины волны:

где то обращается в нуль при всех « », что является признаком резонанса напряжений, а если координата « » принимает значения кратные половине длины электромагнитной волны (включая сечение ):

то обращается в бесконечность при всех « », что является признаком резонанса токов.

Для того чтобы построить графики СВ тока или напряжения согласно уравнений системы для напряжения и тока, одну из двух переменных (например, « » задают и фиксируют по величине), а вторую (например, координату « ») изменяют.

На рис.9.2.а представлены СВ тока для пяти фиксированных значений времени: когда координата « » изменяется в пределах от 0 до , а на рис.9.2.б приведены графики изменяя сопротивления ДЛ, построенные в функции координаты « ».

Сечения в которых ток принимает максимальные значения называются сечениями пучности, а сечения в которых ток обращается в нуль, называются узлами.

В точке , где k = 0, 1, 2… будут узлы тока и пучности напряжения.

 

Рис.9.2 – Стоячие волны тока (1.а) и сопротивление ДЛ (1.б) в режиме холостого хода

 

 

2) Рассмотрим случай короткого замыкания нагрузки .

Если граничные условия заданы в оконечном сечении ДЛ , то в режиме КЗ уравнения ДЛ имеют вид:

Умножая левые и правые части уравнений приведенной системы на и переходя от комплексов напряжения и токов к их проекциям на ось мнимых чисел или к мгновенным значения, получим:

Из анализа уравнений следует, что в короткозамкнутой ДЛ так же как и в разомкнутой имеют место стоячие волны. Однако здесь есть и отличия:

1) Напряжение, как функция координаты, сдвинуто на относительно тока в сторону отставания.

2) В каждом сечении ДЛ напряжение в функции времени изменяется с опережением по фазе относительно тока на угол .

Входное сопротивление ДЛ в режиме короткого замыкания в соответствии с уравнениями системы, найдем как:

Из данного уравнения следует, что полное входное сопротивление ДЛ в режиме короткого замыкания имеет чисто реактивный (индуктивный) характер, а это значит, что в режиме КЗ ДЛ обменивается реактивной мощностью с источником энергии, кроме того, в ДЛ режиме КЗ через каждые чередуются резонансные сечения так же как и в режиме ХХ, но сдвинутые на . На рис.9.3.а представлены СВ тока для пяти фиксированных значений времени: когда координаты « » изменяются в пределах от 0 до , на рис.9.3.б приведены графики сопротивления ДЛ, построенные в функции координаты « ».

Рис.9.3. – Стоячие волны тока (1.а) и сопротивление ДЛ (1.б) в режиме КЗ

 

Входное сопротивление цепи с распределенными параметрами в некотором сечении линии можно рассчитать, поделив комплексное действующие значение напряжения на комплексное действующее значение тока в данном сечении. В общем случае для линии без потерь

где – отношение длины линии к длине электромагнитной волны.

В режиме холостого хода , имеет чисто мнимый характер:

.

Напомним, что для линии без потерь – величина вещественная.

Если чисто реактивное, то это означает, что в длинной линии без потерь мощность падающей волны нигде не расходуется и полностью возвращается к генератору в виде мощности отраженной волны, т.е. длинная линия обменивается реактивной мощностью с источником энергии.

Если – целое число, то может быть равно нулю или . В этих случаях в длинной линии наблюдаются резонансы токов и напряжений, через каждые .

Условия резонансов токов

Условия резонанса напряжений

Зависимость от длины линии показана на рис9.4.

Рис.9.4 –

 

Как видно из рисунка входное сопротивление ДЛ длиной менее четверти длины волны имеет емкостной характер, а длиной от до – индуктивный характер и т.д. Свойства разомкнутого отрезка линии длиной и подобны свойствам последовательного и параллельного контуров.

Примечание: Разомкнутая линия с сосредоточенными параметрами в режиме ХХ может рассматриваться как совокупность двух обкладок конденсатора, обладающего емкостью .

В режиме короткого замыкания входное сопротивление ДЛ имеет также чисто реактивный характер, причем знак также меняется через четверть длины волны, так как « » – нечетная тригонометрическая функция:

.

Зависимость короткозамкнутой ДЛ без потерь в функции координаты представлена на рис.9.5. Следует обратить внимание на то, что короткозамкнутая линия без потерь при имеет бесконечно большое входное сопротивление. Если в линии имеются потери, то входное сопротивление не бесконечно, но достаточно велико.

 

Рис.9.5 –

 

В ДЛ без потерь, нагруженной на несогласованную нагрузку :

,

причем при :

,

где

Из выражений (3.28) и (3.29) следует, что входное сопротивление в любом сечении длинной линии имеет комплексный характер, за исключением тех сечений, где . Называя эти сечения резонансными, можем найти , где

Следовательно, резонансные сечения повторяются через считая от конца ДЛ. В этих сечениях имеет активный характер.

Т.е., картина стоячей волны напряжения при к.з. качественно повторяет картину стоячей волны тока при х.х. линии.

Для случая стоячих волн мощность в узлах напряжения и тока равна нулю. В остальных точках имеет место только реактивная мощность, т.к. напряжение и ток сдвинуты на 90⁰.

При чисто реактивной нагрузке () в линии также будут стоячие волны.

Если в линии имеются потери или приемник потребляет активную мощность, то узлы исчезают; амплитуда падающей волны превышает амплитуду отраженной волны и за счет разности амплитуд происходит процесс передачи энергии вдоль линии.

Для количественной оценки степени согласования линии с нагрузкой в радиотехнике используют коэффициент бегущей волны, под которым понимают отношение минимума кривой напряжения или тока к их максимуму.

Бегущие волны возникают при согласованной нагрузке на линии, когда

Для бегущей волны действующее значение напряжения и тока вдоль линии неизменно.

При несогласованной нагрузке активного характера на линии возникает смешанная волна – комбинация бегущей и стоячей волн.