Лекция 2. Предел функции в точке и на бесконечности. Непрерывность функции




2.1 Предел функции в точке

Определение 1. (на языке бесконечно малых и бесконечно больших функций)

Число A называется пределом функции f(x) при x→a, если функция f(x) в точке a представима в виде

, где α(х) – бесконечно малая функция при x→a.

Запись:

Определение 2. (на языке ε, δ)

Число A называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех выполняется неравенство .

Пояснение (см. рис.): смысл определения в том, что для достаточно близких к а значениях аргумента x соответствующие значения функции отличаются от значения A сколь угодно мало.

Примеры:

1)

2) , но при x=a 3) , но f(a) = 2

функция не определена

 

2.2. Односторонние пределы

Рассмотрим график некоторой функции y=f(x):

При x→a (слева) левосторонний предел

При x→a + (справа) правосторонний предел

Но при этом не существует!

Таким образом, предел функции в точке существует, если существуют и равны оба односторонних предела.

 

2.3. Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предел функции при x→a равен значению функции в точке а.

Этому определению можно дать несколько трактовок, одна из которых:

Функция непрерывна в точке а – значит

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она непрерывна на всем промежутке; если функция непрерывна в каждой точке области определения, то она непрерывна на всей области определения функции. Непрерывность функции – очень важное свойство. При изучении программы средней школы мы работали только с непрерывными на своей области определения функциями.

2.4. Виды разрывов

1. Устранимый разрыв, разрыв нулевого рода – существуют и равны односторонние пределы, и функция определена в точке.

 

Пример: Здесь:

2. Разрыв первого рода – «скачок» - существуют оба односторонних предела, нет общего.

Пример: Здесь: не

существует.

3. Разрыв второго рода - не существует односторонних пределов или хотя бы одного из них (гипербола)

Пример: . Здесь: в точке 0 предел слева равен −∞, предел справа +∞.

не существует.

2.5. Свойства непрерывных функций

Теорема 1. (первая теорема Больцано-Коши)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем значения функции в точках a и b разных знаков (f(a)∙f(b)<0), то существует такая точка cÎ[a, b], что f(c) = 0.

Графически: на отрезке [a, b] есть точка, в которой график функции пересекает ось Х.

 

Теорема 2. (вторая теорема Больцано-Коши)

Непрерывная на отрезке функция вместе с любыми двумя значениями принимает и все промежуточные значения.

Т.е. для любого С Î [f(a), f(b)] существует точка c такая, что f(c) = C

 

Теорема 3. (вторая теорема Вейерштрассе)

Непрерывная на отрезке функция достигает на нем наименьшего и наибольшего значений.

Например, функция f(x) = {x} – мантисса числа (дробная часть)

На отрезке [0, 2] функция не имеет наибольшего значения, значит, функция разрывная (разрыв 1 рода).

 

2.6. Асимптоты графика функции

1. Вертикальные. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если

т.е. не существует.

Пример:

1) здесь x = -2 вертикальная асимптота,

2) x = ±1 – вертикальные асимптоты,

3) x = -1 - вертикальная асимптота,

4) - множество вертикальных асимптот графика;

5) - вертикальная асимптота,



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-01-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: