Пусть функция u=f(t) описывает изменение производительности некоторого завода с течением времени. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0; T].
Если предположить, что производительность не изменяется с течением времени (т.е. f(t) = const), то объем продукции 
, произведенной за некоторый промежуток времени 
задается формулой
Если 
не является постоянной функцией, то справедливо приближенное равенство
где 
, которое оказывается тем точнее, чем меньше 
Поэтому для решения задачи о нахождении объема продукции поступим так же, как при нахождении площади криволинейной трапеции. Разобьём отрезок [0; T] на промежутки времени точками:
Для величины объема продукции 
, произведенной за проме-
жуток времени 
, имеем:
Тогда
При стремлении 
к нулю каждое из использованных при-
ближенных равенств становится все более точным, поэтому
Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем
т.е. если f(t) - производительность труда в момент времени t, то
есть объем выпускаемой за продукции промежуток [0; T].
Сравнивая данную задачу с задачей нахождения площади криволинейной трапеции, получаем, что величина объема продукции, произведенной за промежуток времени [0; T], численно равна площади фигуры, ограниченной графиком функции u=f(t), описывающей изменения производительности труда с течением времени, отрезком
[0; T] и прямыми t=0, t = T.
Пример 1. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t +5.
Пример 2. Определить объем продукции, произведенной рабочим за второй час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией
Решение:
=3,24
-------------------
В экономических исследованиях часто используется производственная функция Кобба-Дугласа
Функция Кобба — Дугласа — производственная функия (или функция полезности), отражающая зависимость объёма производства от создающих его факторов производства — затрат труда и капитала
где у - величина общественного продукта; х 1 - затраты труда, х 2 -
объем производственных фондов.
Если затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то функцию Кобба-Дугласа можно преобразовать к виду
Тогда объем выпускаемой продукции за Т лет составит:
Пример 3. Найти объем продукции, произведенной за 4 года,
если функция Кобба-Дутласа имеет вид
Решение. Объем Q произведенной продукции равен
------------------
Часто для решения экономических задач применяют теорему о среднем значении и формулу
Число 
называют средним значением функции 
на отрезке [a,b].
На практике нередко вычисляют такого рода средние значения, например, средняя производительность труда, средняя мощность электродвигателей и т.д.
Пусть известна функция t = t(x), описывающая изменение затрат
времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где х - порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время tср, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от х1 до х2 изделий, вычисляется по теореме о среднем
Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий t=t(x) то она часто имеет вид:
где А - затраты времени на первое изделие, В - показатель производственного процесса.
Пример 3. Найти среднее значение издержек 
, выраженных в денежных единицах, если объем продукции x меняется от 0 до 3 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.
Решение. Применяя теорему о среднем значении, имеем:
т.е. среднее значение издержек равно 16.
Определим, при каком объеме продукции издержки принимают это среднее значение, т.е. решим уравнение
Учитывая, что объем продукции не может быть отрицательным, из последнего уравнения имеем 
(ед. продукции).
Пример 4. Найти среднее значение издержек 
Пример 5. Найти среднее значение издержек 
----------------