МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
Учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И УПРАВЛЕНИЯ
КАФЕДРА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Отчет
по лабораторной работе № 1
« ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ »
по курсу:
«Цифровая обработка сигналов »
Вариант: 7
Выполнил:
Студент группы РТбо3-7:
Гладышев Д.А.
__________________
Проверил:
Шаповалов И.О.
__________________
«__»_________2017г.
Таганрог 2017 г.
Цель работы:
Целью работы является выполнение экспериментального исследования спектров периодических сигналов в среде моделирования LabView, а также изучение преобразования Фурье, дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) и убедиться в целесообразности использования быстрых алгоритмов ортогональных преобразований.
Теоретические сведения:
Преобразование Фурье. Преобразование Фурье – это преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье – это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, т. е. представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы:
где 
.
Первое выражение называется прямое преобразование Фурье, а второе – обратное преобразование Фурье. Функция S (f) называется спектром сигнала s (t).
Разложение функции на гармонические составляющие, т. е. вычисление коэффициентов Фурье, принято называтьспектральным анализом. А воссоздание функции, представленной рядом Фурье, называютспектральным синтезом. Гармонику периодической функции или сигнала с n =1 называют основной или первой гармоникой сигнала. Она задает его частоту повторения f 1. Остальные гармоники называют высшими, их частоты равны fn = nf 1, где n =2,3,4,....N, член a0/2 – постоянная составляющая сигнала, ее можно трактовать как нулевую гармонику. Таким образом, спектр периодических сигналов, представимых рядом Фурье, – дискретный, он содержит набор фиксированных частот fn, где n =1,2,3,.... Ясно, что такой ряд лишь одно из достаточно простых и возможных разложений s (t) по ортогональному тригонометрическому базису.
Сложные периодические сигналы могут содержать множество (теоретически бесконечное число) гармонических составляющих с разной амплитудой и фазой. С помощью ряда Фурье можно установить, сколько гармоник сигнала нужно для представления сложного сигнала с заданной погрешностью.
Также можно узнать, какими амплитудно-частотной(АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками должен обладать тракт того или иного устройства преобразования и передачи сигналов.
Возможность гармонического синтеза произвольных периодических зависимостей позволяетудовлетворять условиям Дирихле на промежутке (- f, f). Ряд для представления таких зависимостей
получил название ряда Фурье. Коэффициенты ряда находятся по формулам Эйлера–Фурье:
.
Важными сферами применения рядов Фурье стали радиотехнические устройства и цифровые системы. В них периодические сигналы обычно представляют как функции времени s (t) на отрезке [0, T ] или [ –Т /2, T /2] с периодом T =1/ f 1, где f 1 – частота первой гармоники периодического сигнала.
Коэффициенты an и bn ряда описывают косинусную и синусную составляющие n -й гармоники сигнала с периодом T и частотой f 1=1/ T. Часто используется иная форма ряда Фурье, упрощающая его вычисления:
Здесь амплитуды гармоник Mn и их фазы 
определяются выражениями
.
Ход работы
Найдем прямое преобразование Фурье при помощи следующей формулы:
Подставим значение 0,9+ 1,4i и получим:
2,2559 + 3,5092 
Рис.1- Виртуальный прибор, демонстрирующий работу простого преобразования Фурье.
Рис.2- спектр простого БПФ
Рис.3- блок-диаграмма улучшенного БПФ
Рис.4- Спектр улучшенного БПФ
Рис.5- Подсистема генрации фукций
Рис.6- ВП FreqAxis.vi для формирования оси частот, основанной на выражении
Рис.7- Спектр ВП FreqAxis.vi
Рис.8- Виртуальный прибор, демонстрирующий работу дискретного, быстрого и улученного преобразования Фурье.
Рис.9- Виртуальный прибор, демонстрирующий работу простого преобразования Фурье.
Вывод:
При выполнении данной лабораторной работы были произведены экспериментальные исследования спектров периодических сигналов в среде моделирования LabView, а также были изучены преобразования Фурье, дискретное преобразования Фурье (ДПФ) и алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) и была продемонстрирована целесообразность использования быстрых алгоритмов ортогональных преобразований.