Союзная и обратная матрицы

Практическое занятие № 1

«Действия над матрицами. Вычисление определителей»

1. Цель: Выработать навыки и умения у студентов в решении задач на действия с

матрицами

2. Пояснения к работе:

Краткие теоретические сведения

Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно, где (т.е. ) – номер строки, (т.е. ) - номер столбца. Матрицу называют матрицей размера и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоя­щие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие эле­менты этих матриц, т. е. если где

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей - го порядка.Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов глав­ной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Матрица, содержащая всего один столбец или одну строку называется вектором (или вектор- столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается . Так, если то если то Транспонированной матрица обладает следующим свойством: .

2.1.2 Действия над матрицами

Сложение. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц и называется матрица такая, что

(, ).

Пример 1. . Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что (, ).

Пример.

Матрица называется противоположной матрице А. Разность матриц А-В можно определить так: А-В =А+(-В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

где A, B, C – матрицы, и - числа.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

• перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

• умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

• прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих эле­ментов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записы­вается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической.

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы на матрицу на­зывается матрица такая, что

, где ,

т. е. элемент i -й строки и k -го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений

элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы k -го столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют.

Пример 2. . Тогда произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (их 3) не совпадает с числом строк матрицы В (их 2). При этом определено произведение , которое считают следующим образом:

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. 3.

2. 4.

2.1.3 Определитель матрицы

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определи­теля можно вынести за знак

определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда про­порциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то та­кой определитель равен нулю.

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителей»). Опре­делитель не изменится, если

к элементам одного ряда прибавить соответ­ствующие элементы параллельного ряда,

умноженные на любое число.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения. Минором некоторого элемента определителя n -го порядка назы­вается определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается . Так если

то

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается .

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ря­да»).

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им

алгебраические дополнения. В случае определителей 3-го порядка свойство 7 означает, что

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det A ≠0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.