Шум типа 1/ f представляет собой эволюционный случайный процесс - его текущее поведение сильно зависит от всей его предыдущей истории. Кроме того, его память является динамической - влияние недавних событий накладывается на влияние более отдаленных событий и постепенно перекрывает его. Влияние событий отдаленного прошлого затухает очень медленно - либо по степенному закону с малым показателем степени, определяемым истекшим временем, либо логарифмически, т. е. гораздо медленнее, чем допускают экспоненциальные времена релаксации, связанные с дифференциальными уравнениями низкого порядка, которые обычно используются для моделирования системы. Чтобы проиллюстрировать эту мысль, рассмотрим шум типа 1/f сначала в МОППТ, а затем в информационных системах.
Большинство физических систем постепенно приближается к состоянию термодинамического равновесия, и влияние их начальных условий со временем уменьшается. Так, например, МОППТ состоит из таких материалов, которые через достаточно большой промежуток времени перейдут в дисперсное состояние. Обычное описание динамики этого прибора исходит из того, что он может быть разделен на две подсистемы, одна из которых со временем наблюдения меняется очень медленно, а другая — очень быстро. Структуpa прибора меняется так медленно, что для практических целей ее можно считать статической. С другой стороны, распределения электронов и дырок в транзисторе имеют очень малые времена релаксации и считаются находящимися в состоянии квази-равновесия. Тот факт, что МОППТ вырабатывает шум типа 1/f вплоть до самых низких частот, допускаемых временем наблюдения [9], заставляет предположить, что разделение этого прибора только на две подсистемы неоправданно - следовало бы представить его состоящим из подсистем с временами релаксации, сравнимыми со всеми представляющими интерес временными шкалами. Независимо от того, сколько времени продолжается наблюдение, некоторые процессы достигнут равновесия и их начальные условия будут забыты. Некоторые процессы будут явно меняться в интервале наблюдения, тогда как изменение других окажется слишком медленным, чтобы его можно было обнаружить, и их начальные условия сохранятся почти полностью. В зависимости от длительности наблюдения производится деление системы на подсистемы трех категорий: быстрые, сравнимые по скорости изменения с временем наблюдения и медленные. Изменение длительности наблюдения просто изменяет категорию, к которой относится данная подсистема, процесс же остается в принципе таким же. Чтобы охарактеризовать поведение транзистора, нужно знать текущие значения каждой из переменных состояния, постоянные времени которых сравнимы с временем наблюдения или меньше его. Кроме того, нужно знать суммарное воздействие всех переменных состояния, которые не меняются и воздействия которых нельзя различить за время наблюдения. Все эти медленно меняющиеся переменные представлены одним числом - кажущимся стационарным значением. Длительность интервала наблюдения определяет, какие переменные группируются вместе, а какие следует рассматривать индивидуально.
Информационные системы накапливают информацию. Со временем в них происходит общее увеличение объема и сложности структуры, а не уменьшение, как в случае транзистора. Хорошими примерами процессов, происходящих в таких системах, являются биологическая эволюция, культурное развитие, развитие органов управления государством, развитие экономических систем, рост и совершенствование личности. К числу таких систем можно отнести также произведения искусства, развивающие центральную тему - например, романы и симфонии. Фосс и Кларк [8] показали, что если рассматривать музыку (которая отнюдь не является случайным сочетанием звуков) как случайный процесс, то спектральная плотность мощности флюктуации её амплитуды и высоты тона (в функции времени) имеет вид 1/ f. То же самое можег быть справедливым для многих накапливающих информацию и развивающихся систем - некоторые величины, если рассматривать их изменение как случайный процесс, могут иметь спектральную плотность мощности типа 1/ f. Шум типа 1/ f сочетает сильное влияние на систему прошлых событий с влиянием текущих событий. Результатом является до некоторой степени предсказуемое поведение системы, которое, однако, оставляет место для развития новых тенденций и возникновения неожиданных эффектов. Процесс, вырабатывающий шум типа 1/f, по-видимому, суммирует тенденции развития системы и «конденсирует» данные, определяя таким образом значения переменных состояния системы и влияние прошлых событий на текущее поведение системы. Что касается минимального числа требуемых переменных состояния, то в это число входит одна переменная с постоянной времени, скажем 0,1 единицы времени, одна переменная с постоянной в 1 единицу, 10 единиц, 100 единиц и т. д. При этом величина переменной состояния, время релаксации (или усреднения) которой равно 1 с, описывает усредненное поведение или ход процесса за последнюю секунду или около того; величина переменной состояния с временем релаксации 100 с представляет усреднение за последние 100 с и т.д. Каждая из этих переменных состояния в равной степени влияет на текущее поведение системы - каждая представляет тенденцию изменения состояния, но для различных шкал времени. Последние события могут оказывать определяющее влияние на значения переменных состояния с наименьшей постоянной времени, но они будут оказывать все меньшее влияние на переменные состояния со всё большими постоянными времени. Устойчивые новые тенденции будут приводить к тому, что процесс станет изменяться со временем по логарифмическому закону по мере того, как все большее число переменных состояния будет отражать новые тенденции процесса, а не старые.
Модели, предложенные для описания шума типа 1/f, могут быть полезны также для моделирования упомянутых выше информационных систем. Особенно привлекательной кажется идея, что информация, описывающая прошлое, суммируется и запоминается в виде тенденций развития для различных временных шкал. Примерно таким же образом человек запоминает (и запоминает неверно) информацию — скорее как части согласованных картин, а не как отдельные бессвязные элементы. Тот факт, что музыка имеет статистику типа 1/f и что при случайном выборе нот наиболее музыкально они звучат, если имеют спектральную плотность мощности типа 1/f, наводит на мысль о существовании связи между характером человеческого восприятия и памяти и структурой шума типа 1/f. Из-за существования такой связи и влияния памяти и поведения человека на развитие наших институтов, развитие нас самих, нашей экономической системы, наших органов управления и нашей культуры могут представлять собой случайные статистические процессы с шумом типа 1/f.
В заключение рассмотрим задачу о наиболее точном предсказании будущего хода процесса типа 1/f. Поскольку настоящее и будущее поведение в высокой степени коррелируют с прошлым поведением, для наиболее точного предсказания будущего нужно понять влияние прошлого. В случае процесса типа 1/f прошлое поведение может быть суммировано текущими значениями переменных состояния системы. Минимальное требуемое число переменных состояния определяется из расчета приблизительно одной переменной на декаду в представляющем интерес интервале времени. При рассмотрении процесса типа 1/f с помощью каких-либо методов регрессионного анализа потребовалось бы оценить не только среднее значение параметра на всем протяжении существования системы, но также среднее за 1 единицу времени 10 единиц, 100 единиц, 1000, 10000 и т. д., начиная от самых коротких до самых длинных из представляющих интерес интервалов времени. Каждое из этих средних значений будет определять величину одной переменной состояния, и каждая из этих переменных будет в равной степени влиять на будущее поведение системы. Чтобы предсказание было наиболее точным, следует не только знать текущие значения всех переменных состояния, но и понимать механизм влияния каждой из них на текущее поведение системы.
ОТ АВТОРА
Автор хотел бы отметить вклад в представленную статью соруководителей его диссертационной работы проф. М. Зиберта и Р. Б. Адлера. Проф. Зиберт познакомил автора с этой темой, высказав мысль, что шум типа 1/f может быть использован для моделирования долговременного поведения сложных систем. Вклад проф. Адлера в диссертационную работу касался главным образом вопроса о моделировании шума типа 1/f с помощью процесса термодиффузии. Работа на эту тему, возможно, будет опубликована позднее.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Для ознакомления с теорией случайных процессов, в том числе с автокорреляционными функциями и спектральными плотностями мощности, см. A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. New York: McGraw-Hill, 1965
[2] J. Bernamont, Proc. Phys. Soc., 49 (extra part): 138, 1937.
[3] A. L. McWhorter, «1//noise and related surface effects in germanium», R.L.E. 295 and Lincoln Lab Tech Rep. 80, M.I.T., 1955.
[4] R. F. Voss, «1// (flicker) noise: A brief review», in Proc. 33rd Annu. Symp. Frequency Contr., Atlantic City, NJ, 1979, pp. 40-46.
[5] F. N. Hooge, «Ijf Noise», Physica, vol. 83B, pp. 14-23, 197fr.
[6] M. J. Campbell and B. W. Jones, «Cyclic changes in the insulin needs of an unstable diabetic», Science, vol. 177, pp. 889-891, Sept. 8, 1972.
[7] B. B. Mandelbrot and J. W. Van Ness, «Fractional brownian motions, fractional noises, and applications», SIAM Rev., vol. 10, no. 4, pp. 422-437, 1968.
(8j R. F. Voss and J. Clarke, «1// noise in music: Music from 1// noise», /. Accoust. Soc. Amer., vol. 63, no. 1, pp. 258-263, 1978.
(9) M. A. Caloyannides, «Microcycle spectral estimates of 1//noise in semiconductors», J. Appl. Phys., vol. 45, no. 1, pp. 307-316, 1974.
(10] B. B. Mandelbrot and J. R. Wallis, «Some long-run properties of geophysical records», Water Resources Res., vol. 5, no. 2, pp. 321-340, 1969.
[11] J. Clarke and T. Y. Hsiang, «Low frequency noise in tin and lead films at the superconducting transition», Phys. Rev. B, vol. 13, no. 11, pp. 4790-4800, 1976.
112] Вервен А. А., Дерксен Х. Э. Флюктуационные явления в нервной мембране. ТИП ЭР, 1968, т. 56, № 6, с. 20—30.
[13] В. В. Mandelbrot, «Some noises with 1//spectrum, a bridge between direct current and white noise», IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-13, no. 2, pp. 289-298, 1967.
[14] F. N. Hooge, «Discussions of recent experiments on 1//noise», Physica, vol. 60, pp. 130-144, 1972.
[15] M. S. Keshner, «Renewal process and diffusion models of 1// noise», Sc.D. thesis submitted to the Department of Electrical Engineering and Computer Science of the Massachusetts Institute of Technology, June 1979.
[16] Бейтман Г. и Эрдейи А. Таблицы интегральных, преобразований, т. 1. М.: Наука, 1969.
Кешнер М.С. Шум типа 1/f // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.10993, 10.02.2004