1. Периметр равнобедренной трапеции равен 63, боковая сторона равна большему основанию, а меньшее основание в 2 раза меньше большего. Найдите большее основание.
2. Средняя линия трапеции равна 16, а одно из оснований равно 23. Найдите другое основание трапеции.
3. Диагонали АС и ВD прямоугольника АВСD пересекаются в точке О, АО=12,5, а АВ: ВС=7:24. Найдите СD.
4. Основания трапеции равны 14 и 26. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
5. В четырёхугольнике АВСD АВ=6, ВС=9, СD =4. Найдите АD, если известно, что в четырёхугольник АВСD можно вписать окружность.
6. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольного треугольника, равен 34, Найдите катет этого треугольника.
7. К окружности с центром О проведены две касательные, которые пересекаются в точке К, а В и С – точки касания. КО=20,5, а КВ = 20. Найдите радиус окружности.
8. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 12м и 32 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги средний столб.
9..Докажите, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
10. Докажите, что диаметр, проведённый через середину хорды окружности, перпендикулярен ей.
11. Докажите, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота равна средней линии.
12. Последовательно соединили отрезками середины сторон четырёхугольника. Докажите, что полученный четырёхугольник является прямоугольником.
13. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на отрезки, равные 4 и 6. Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.
14. Основания трапеции равны 44 и 16, а боковые стороны равны 17 и 25. Найдите высоту трапеции.
15. На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника,как на диаметре, построена окружность. Окружность пересекает основание АС в точке М и боковую сторону СВ в тоске Н. Найдите периметр треугольника МНС, если АВ=10, АС=8
Площади
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите его площадь.
2.. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой. Найдите площадь треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна медиане, проведённой из того же угла. Гипотенуза этого треугольника равна 9. Найдите площадь треугольника.
4. В треугольнике АВС АВ=7, ВС=9, АС =8. Найдите площадь треугольника АВС.
5. Основание трапеции равно 7, другое – в 3 раза больше. Высота трапеции равна её средней линии. Найдите площадь трапеции.
6. В равнобедренной трапеции АВСD с основаниями ВС и АD lдиагонали АС и ВD пересекаются в точке О. АО:ОС = 4:3, а площадь треугольника АВО равна 6. Найдите площадь трапеции АВСD.
7. В четырёхугольнике АВСD АВ + С D =18, а диаметр вписанной в него окружности равен 8. Найдите площадь четырёхугольника.
8. Найдите площадь фигуры, заключённой между двумя окружностями с одним центром и радиусами 3 и 15
9. Найдите площадь кругового сектора, если угол сектора равен 80 0 , а радиус круга равен12.
Задачи повышенного уровня
10. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Докажите Что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
11. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.
12. На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АКD равна половине площади квадрата.
13. В трапеции длины диагоналей равны 3 и 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2. Найдите площадь трапеции.
14. Площадь треугольника АВС равна 90, биссектриса АD пересекает ВС так, что BD: CD = 2:3. Отрезок ВК пересекается с биссектрисой АD в точке Е и делит АС на AК и СК так, что АК:СК = 1:2.Найдите площадь четырёхугольника ЕDСК.
15. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям, сумма острых углов равна 900.Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 18.
Около трапеции с высотой, равной 8, описана окружность, центр которой принадлежит трапеции. Большее основание трапеции видно из центра окружности под углом 1100 , а меньшее под углом 700 .Найдите площадь трапеции