Решение типового (нечётного) варианта
Задача № 2. Найти решение уравнения
, (2.1)
удовлетворяющее начальным условиям
, , (2.2)
и граничным условиям
, , . (2.3)
Вид функций и изображён на рисунке 2.1 (; ; ; ).
Решение. Найдём аналитические выражения для функций и . Уравнение прямой (рис. 2.1) запишем как уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , то есть : . Аналогично запишется уравнение прямой как уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , то есть : . Следовательно, начальные условия (2.2) имеют вид
(2.4)
Рис. 2.1. |
Задачу будем решать методом Фурье (методом разделения переменных). Частные, не равные тождественно нулю, решения уравнения (2.1), удовлетворяющие граничным условиям (2.3) будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая – только от , то есть
, (2.5)
где и – дважды непрерывно-дифференцируемые функции своих аргументов, подлежащие определению. Функцию из (2.5) подставим в уравнение (2.1). Получим
.
Отсюда, разделяя переменные, находим
. (2.6)
Равенство (2.6), левая часть которого не зависит от , а правая – от , возможно лишь в том случае, если обе его части не зависят ни от , ни от , то есть представляют собой одну и ту же постоянную, которую обозначим через . Тогда
.
Следовательно, получаем два уравнения относительно функций и :
(2.7)
и
. (2.8)
Удовлетворим граничным условиям (2.3)
, (2.9)
и найдём такие значения , при которых существуют отличные от нуля решения уравнения (2.8). Для нахождения общего решения уравнения (2.8) составим характеристическое уравнение
.
Корнями этого уравнения являются , и, следовательно, общее решение уравнения (2.8) имеет вид
,
.
Подставим это решение в соотношения (2.9). Тогда
Решая систему, получим , ; , , что возможно только в случае , Отсюда собственные значения задачи Штурма – Лиувилля, то есть такие значения , при которых задача (2.8), (2.9) имеет нетривиальные решения, равны , Тогда решения этой задачи (собственные функции) имеют вид
,
Найдём теперь общее решение уравнения (2.7) при . Для этого составим характеристическое уравнение
.
Корнями этого уравнения будут , и, следовательно, общее решение уравнения (2.7) имеет вид
.
Полагая в этом выражении , , получаем
.
Тогда
.
Каждому значению отвечают свои постоянные и , поэтому пишем и , а постоянную включаем в и .
Так как уравнение (2.1) линейное и однородное, то функция
(2.10)
является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим граничным условиям (2.3).
Определим теперь и так, чтобы решение (2.10) удовлетворяло и начальным условиям (2.4), то есть
, . (2.11)
Функции и разлагаются в ряд Фурье в промежутке по косинусам, и тогда
. (2.12)
. (2.13)
Подставляя выражения (2.4) для функций и соответственно в (2.12) и (2.13), находим
;
.
Найденные значения и подставим в (2.10) и получим искомое решение в виде
.
Задача № 3. Методом Фурье найти решение уравнения
, (3.1)
удовлетворяющее начальному условию
, (3.2)
и граничным условиям
, , . (3.3)
Вид функции изображён на рисунке 3.1 (; ; ; ).
Рис. 3.1. |
Решение. Найдём аналитические выражения для функции . Функция при . В интервале запишем в виде уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент . Тогда в этом интервале
.
С учётом полученных выражений начальное условие (3.2) запишем в виде
(3.4)
Так как граничные условия не нулевые, то метод Фурье для решения задачи (3.1) – (3.3) не применим. Поэтому введём новую функцию
, (3.5)
где и – постоянные, которые надо определить так, чтобы
, , . (3.6)
Итак,
, (3.7)
. (3.8)
Из системы уравнений
имеем , . Тогда
. (3.9)
Подставляя функцию из (3.9) в уравнение (3.1), получим уравнение для функции :
, (3.10)
а начальные и граничные условия примут вид:
(3.11)
, , . (3.12)
Теперь для решения краевой задачи (3.10) – (3.12) можно применить метод Фурье. Пусть
. (3.13)
Подставляя (3.13) в (3.10) и разделяя переменные, получим
, . (3.14)
Из (3.14) получаем уравнения для определения и :
, (3.15)
. (3.16)
Общие решения этих уравнений имеют вид
, (3.17)
. (3.18)
Для нахождения постоянных и воспользуемся граничными условиями (3.12). Функция , как следует из (3.12), удовлетворяет граничным условиям
, . (3.19)
Подставим (3.18) в граничные условия (3.19) Тогда
Решая эту систему уравнений и учитывая, что ищется ненулевое решение задачи Штурма – Лиувилля (3.16), (3.19), получим
, , , ,
Найденным собственным значениям задачи соответствуют собственные функции
,
Общее решение (3.17) уравнения (3.15) при примет вид
.
Тогда в соответствии с представлением решения в виде (3.13) получим частные решения уравнения (3.10) в виде
,
Запишем теперь решение краевой задачи (3.10) – (3.12):
, (3.20)
где – пока неизвестные постоянные, определяемые из начального условия (3.11). Полагая в (3.20) и учитывая (3.11), получим
.
Отсюда найдём коэффициенты этого тригонометрического ряда Фурье:
.
Подставляя найденные значения в (3.20) и учитывая (3.9), получим искомое решение в виде
.
Работу выполнил: дата, подпись.