1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
.
Пример: Вычислить пределы:
1. 
;
2. 
;
3. 
.
Упражнения: Вычислить пределы:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
.
8. Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х0 – точка разрыва функции 
, то в ней не выполняется хотя бы одно из условий определения непрерывности функции:
1) функция определена в точке х0;
2) существует конечный предел функции в точке х0;
3) предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, то есть 
.
Пример:
1. Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0: 
, х0= 2 –точка разрыва.
2. Функция определена в точке х0 и её окрестности, но не существует предела функции при х→х0: 
, х0= 2 – точка разрыва.
3. Функция определена в точке х0 и её окрестности, существует предел функции при х→ х0, но этот предел не равен значению функции в точке х0 
: 
, х0= 0 – точка разрыва.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Определение: Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. 
и 
, при этом:
а) если 
, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;
б) если 
, то точка х0 называется точкой конечного разрыва.
Величину 
называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Определение: Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
1. , х0= 2 – точка разрыва второго рода.
2. , х0= 2 – точка разрыва первого рода, скачок функции равен 1.
3. , х0= 0 – точка устранимого разрыва первого рода. Положив у = 1 (вместо у = 2) при х = 0, мы устраним разрыв, функция станет непрерывной.
Пример: Найти точки разрыва функции 
и определить их тип.
Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 3. Очевидно, что 
. Следовательно, 
, а 
. Поэтому в точке х = 3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 2.
Упражнения:
1. Найти точки разрыва функции 
и определить их тип.
2. Найти точки разрыва функции 
и определить их тип.
9. Асимптоты графика функции.
Определение: Асимптотой графика функции называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на графике, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по графику функции.
Вывод: Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными, наклонными.
Пример:
1. Функция 
имеет вертикальную асимптоту х = 0, горизонтальную асимптоту у = 0.
2. Функция 
имеет вертикальные асимптоты 
.
Вывод:
1. Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции , если 
, или 
, или 
.
2. Для отыскания вертикальных асимптот графика функции нужно найти те значения аргумента х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.
3. Если существует наклонная асимптота, то её уравнение имеет вид 
, где 
, 
. Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.
4. Если 
, то 
. Прямая 
является горизонтальной асимптотой графика функции .
Замечание: Асимптоты графика функции при 
ипри 
могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов и следует отдельно рассматривать случай, когда икогда .
Пример: Найти асимптоты графика функции 
.
- график не имеет наклонной асимптоты при .
При график имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
Упражнения:
Найти асимптоты графика функции:
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
|
Обобщённое понятие предела:
Число А есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к числу А.
Примеры:
Скорость машины на трассе