ЛЕКЦИЯ № 12
5.3.ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
Принято считать [33], что установившийся режим работы системы начинается с момента окончания переходного процесса tp и продолжается до бесконечности, как показано на рис. 5.6.
Рис 5.6
Качество работы любой системы управления в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями управляемой величины.
Таким образом точностные характеристики систем относятся к установившемуся режиму рис.5.6. и оцениваются с помощью статических и динамических ошибок. Эти ошибки можно назвать основным показателем качества системы в установившихся режимах. Кроме того, для отдельных систем используются и прочие показатели, например, порядок астатизма системы – ν и др.
Для статических систем ошибку (точность САУ) можно [39] графически показать, как параметр – e (см.рис. 5.7):
Рис. 5.7
При этом величина ошибки равна: 
Основным показателем качества САУ в установившемся режиме является её установившаяся ошибка, которая в общем случае определяется выражением
, (5.5)
где 
– вынужденная составляющая управляемой переменной системы (т.е. частное решение дифференциального уравнения САУ, обусловленное некоторым воздействием);
– желаемый закон изменения управляемой переменной системы под влиянием данного воздействия или задающее воздействие - g (t);
Таким образом, установившаяся ошибка характеризует точность системы в статическом режиме и равна отклонению действительного значения регулируемой величины от заданного:
,
Отношение ν = δcm.g / g 0 иногда называется статизмом системы по задающему воздействию. Соответственно обратная величина 
называется добротностью системы управления.
В зависимости от значения статической ошибки системы управления делятся на статические системы (
) и астатические системы (
).
Если функция g (t) дифференцируема во всем интервале 
, то ошибка САУ может быть представлена в виде ряда
где C 0– коэффициент статической или позиционной ошибки;
C 1– коэффициент скоростной ошибки;
C 2– коэффициент ошибки от ускорения и т.д.
Коэффициенты ошибок C 0, C 1, C 2, …, Cm определяют по формулам разложения ПФ по ошибке Fe(s) в ряд Тейлора
Если воздействие g (t) является единичным ступенчатым, то все его производные будут равны нулю
В этом случае установившаяся ошибка
, где 
(*)
Если g (t) = t, то 
а 
Установившаяся ошибка при этом
.
Коэффициент статической ошибки статической САУ 
, так как 
и ПФ разомкнутой САУ 
. Астатические САУ с астатизмом первого порядка имеют 
, 
.
Системы с астатизмом второго порядка имеют 
, а коэффициент ошибки от ускорения .
Увеличение количества интегрирующих звеньев в САУ приводит к повышению порядка астатизма, т.е. к нулевым значениям нескольких коэффициентов ошибок, но при этом снижается запас устойчивости системы.
Если к САУ помимо управляющего воздействия g (t) приложено возмущающее воздействие f (t), то астатизм системы относительно g (t) и f (t) зависит от места включения интегрирующего звена.
Таким образом, необходимым условием астатизма является наличие интегрирующего звена. Система с интегрирующим звеном в контуре управления является астатической по задающему воздействию, а также по возмущающему воздействию, поступающему в систему после интегрирующего звена.
Приближенно порядок астатизма определяется наибольшей степенью переменной в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы.
ПФ разомкнутой статической САУ W (0) = K при (производных) s = 0, поэтому (из (*) стр.2)следует, что статическая ошибка
.
Таким образом, для уменьшения ошибки необходимо добиваться достаточно большого коэффициента усиления K разомкнутой САУ.
С увеличением коэффициента усиления К разомкнутой системы установившиеся ошибки уменьшаются. Однако с возрастанием К ухудшается устойчивость автоматических систем, т.е. требование к точности противоречит требованию к устойчивости. При заданном относительно большом значении К улучшение устойчивости достигается включением в систему корректирующих устройств.
В этом случае требуемый для обеспечения заданной ошибки регулирования δ коэффициент усиления САУ к тр определяется из выражения
;
.
Если коэффициент усиления разомкнутой исходной системы 
, то это значит, что исходная система отвечает требованиям задания по точности.
В случае систем стабилизации, программного управления или следящих систем [33] эталонная переменная 
, где g (t) – задающее воздействие. εg – отклонение системы, обусловленное действием только задающего воздействия g (t).
Тогда ошибка
. 5.6)
Другими словами, в тех случаях, когда 
, сигналом ошибки является отклонение или рассогласование системы управления с отрицательной единичной обратной связью.
Ниже надо принять во внимание, что статическую ошибку обычно обозначают через e или δ, то ошибки в замкнутых САУ – через ε(s).
Задачи стабилизации и слежения иначе могут быть сформулированы как задачи поддержания нулевого значения рассогласования, т. е. e(t) → 0.
Если задающее воздействие изменяется с постоянной скоростью 
, тогда для установившейся ошибки, которая называется скоростной ошибкой получим выражение:
Так как 
существенно зависит от вида входного воздействия 
, то ошибки САУ классифицируются в зависимости от вида воздействий.
Определение ошибки по возмущающему воздействию 
отличается тем, что в формуле (5.5) 
, т.е.
, (5.7)
где 
– вынужденная составляющая выходной величины, а 
– отклонение системы, обусловленное действием только возмущения .
Ошибки, определяемые выражениями (5.5) – (5.7), называются структурными, так как в первую очередь определяются именно структурой системы управления. Если воздействие имеет определенный (регулярный) тип, то, как будет показано ниже, выбором структуры системы эту ошибку практически всегда можно сделать равной нулю. Поэтому формально можно считать, что если структурная ошибка системы, вызванная некоторым воздействием определенной формы, не равна нулю, то структура системы является неудачной по отношению к данному воздействию.
Различают следующие структурные ошибки.
Статическая ошибка. В этом случае 
(часто полагают 
. Здесь 
– интенсивность задающего воздействия, постоянного по величине).
При 
можно записать: 
. Тогда, если 
, то согласно (5.6) статическая ошибка по задающему воздействию 
.
Динамическая ошибка. Эта ошибка определяется по формулам (5.5), (5.6) или (5.7) при условии, что воздействие является полиномиальной функцией некоторой степени, т.е., например, 
, где 
, или какой-либо другой функцией времени (но не периодической).
Ошибки по модулю и по фазе. Для оценки качества САУ в условиях колебательных воздействий применяются ошибка по модулю и ошибка по фазе.
Входной сигнал при этом считается гармоническим, например, 
. Его частота 
выбирается близкой к частотам колебаний реальных воздействий данной системы. В этом случае 
, причём амплитуда 
и фаза 
зависят от частоты , т.е. 
, 
. Сигнал ошибки 
в этом случае также является гармоническим, т.е.
, 
.
Поэтому здесь 
– ошибка по модулю, а 
– ошибка по фазе.
Для вычисления этих ошибок удобнее всего воспользоваться передаточными функциями по ошибке. Например,
.
Полагая здесь 
, будем иметь
.
Отсюда, в соответствии с определением ошибок по модулю и по фазе, вытекают формулы:
, 
, (5.8)
где 
– обозначение модуля функции (*).
Совершенно аналогично с использованием соответствующих передаточных функций определяются ошибки САУ, вызванные другими колебательными воздействиями.
Иногда на систему действуют и колебательные, и не колебательные воздействия. Тогда для определения общей ошибки системы используют либо формулу
, либо 
,
где 
– ошибка, вызванная не колебательным воздействием.
Аналогично суммарная ошибка, вызванная одновременным действием задающего воздействия g и возмущения f, определяется по формуле
.
Среднеквадратическая ошибка. Когда система функционирует в условиях случайных воздействий, её точность оценивается по среднеквадратической ошибке 
.
В этом случае сигнал ошибки 
является случайным процессом и характеризуется средним значением 
, корреляционной функцией 
и дисперсией 
.
Среднеквадратическая ошибка (СКО) определяется выражением
. (5.9)
Среднее значение относят к статической ошибке системы.
Поэтому полная структурная ошибка системы при наличии случайных воздействий определяется по формуле
, (5.10)
где 
– структурная неслучайная ошибка, вызванная регулярными составляющими задающего и возмущающих воздействий.
Одно из основных требований, которым должна удовлетворять система управления, заключается в обеспечении необходимой точности воспроизведения задающего воздействия в установившемся режиме.
Для оценки точности системы определяется установившаяся ошибка, которая может быть получена из выражения (4.4) с помощью теоремы операционного исчисления о конечном значении функции:
x(∞) = lim x(t) = lim sX(s) = lim sФxg (s)· G(s)+ lim sФxf (s) ·F(s) =
t ∞ s 0 s 0 s 0
= xg (∞) + xf (∞) (6.4)
где xg (∞) - установившаяся ошибка от задающего воздействия;
xf (∞) - установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.
Уравнения, описывающие динамику системы (Рис.4.1), при переходе от функций времени к их изображениям по Лапласу, могут быть представлены в следующей общей форме [43]:
X(s) = Фxg (s)G(s) + Фxf (s)F(s), (4.4)
Y(s) = Фg (s)G(s) − Фf (s)F(s), (4.5)
где
G(s), F(s), X(s), Y(s) - изображения по Лапласу задающего, возмущающего воздействий, рассогласования (ошибки) и управляемой величины.
Фхg (s) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно задающего воздействия.
Фхf (s) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно возмущающего воздействия.
Фg(s) - передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию, главный оператор системы Ф(s).
Фf(s) - передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию.
Рис. 4.1. Функциональная схема системы управления
Если задающее воздействие g(t) имеет произвольный характер, то изображение ошибки по задающему воздействию имеет вид:
Xg(s)= Фxg(s)G(s),
где Фxg(s) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно задающего воздействия.
Ошибку в замкнутой САУ [55] с учетом показанного выше (не в представлении Лапласа) можно представить:
ε(s) = W ε(s)· g(t)
где W ε(s) – передаточная функция замкнутой САУ по ошибке.
Передаточная функция ошибки воспроизведения задания определяется по ПФ разомкнутой системы как
W ε(s) = 1/[1 + W (s)],
по передаточной функции замкнутой системы как
W ε(s) = 1 – W зам(s).
Передаточная функция замкнутой системы:
W зам(s) = W(s)/[1 + W(s)],
Тогда передаточной функции замкнутой системы по ошибке, выраженная через ПФ разомкнутой системы, равна
W ε(s) = 1 –W(s)/[1 + W(s)] = 1/[1 + W(s)],
Максимально значение ошибки ε max можно оценить, исходя из выражения
ε(s) = g(t) /│1 + W(s)│,
Приближенно ошибку САУ с единичной обратной связью, передаточная функции разомкнутого контура которого известна, можно найти по зависимости
Имея ввиду, что Фxg(s) =Wε(s) можно записать:
Xg(s)= G(s) / │1 + W(s)│.
Тогда, в системе с единичной обратной связью и передаточной функцией разомкнутого контура W(s) амплитуда ошибки Х при гармоническом входном воздействии амплитудой G и частотой 𝟂k может быть вычислена по формуле:
Xg(s)= G(s) / │1 + W(j 𝟂k)│.
Контрольные вопросы к лекции 12
1. Основные точностные характеристики систем.