Задача 30. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).




КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

-- это уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

 

Окружность.

- каноническое уравнение окружности

- уравнение окружности с центром в начале координат

- общее уравнение окружности

Для уравнения окружности выполнимо два условия:

1. коэффициенты при x и y равны между собой

2. отсутствует произведение текущих координат вида x*y.

 

Эллипс.

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фокусов – величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

 

- каноническое уравнение эллипса

Основные понятия, связанные с уравнением эллипса:

1. Эллипс симметричен относительно координатных осей и относительно начала координат.

2. Точки пересечения с осью Ox , , а с осью Oy , .

3. Точки - вершины эллипса.

4. Отрезки и , а также их длины 2a и 2b называются большой и малой осями эллипса. Числа a и b – большой и малой полуосями.

5. Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = -a, x = a, y = -b, y = b.

6. Если a>b, то эллипс вытянут вдоль оси Ox, а если a<b, то вдоль оси Oy.

 

Гипербола.

Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов – величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

- каноническое уравнение гиперболы.

 

Основные понятия, связанные с уравнением гиперболы:

1. Гипербола симметрична относительно координатных осей и относительно начала координат.

2. Точки пересечения с осью Ox , ось Oy гипербола не пересекает.

3. Точки и называются вершинами гиперболы.

4. Отрезок = 2a, называется действительной осью. - действительная полуось. называется линейной осью, b – мнимая полуось.

5. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

6. Прямые являются асимптотами. Ветви гиперболы стремятся к этим прямым, но не пересекают их.

7. При построении гиперболы целесообразно сначала построить оси прямоугольника гиперболы, провести его диагонали, которые будут асимптотами и отметить вершины , .

8. Гиперболы и называются сопряженными.

 

4. Парабола – множество всех точек, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы (P>0).

- каноническое уравнение параболы.

 

Основные понятия, связанные с уравнением параболы:

1. Поскольку в уравнении у в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ox.

2. Т.к. P>0, то x 0, значит парабола располагается справа от оси Oy.

3. При x =0, y = 0 парабола проходит через начало координат.

4. Точка (0:0) называется вершиной параболы.

Отрезок FM называется фокальным радиусом точки М.

 

Уравнение тоже определяет параболу.

 

Задача 30. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).

Решение:

Искомое уравнение имеет вид (x - a)2 + (y - b)2 = r 2. Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:

Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем

Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь

Отсюда

.

Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим

.

Искомое уравнение имеет вид

или после упрощений x 2 + y 2 + 3 x + 9 y - 10 = 0.

Задача 31. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
а) его полуоси a = 6, b = 4;
б) расстояние между фокусами 2 c = 10, а большая полуось 2 a = 16;
в) большая полуось a = 12, а эксцентриситет e = 0,5;
г) малая полуось b = 8, а эксцентриситет e = 0,6;
д) сумма полуосей a + b = 12, а расстояние между фокусами

Решение:

а) Простейшее уравнение эллипса имеет вид

.

Подставляя сюда a = 6, b = 4, получим

б) Имеем 2 c = 10; c = 5; 2 a = 16; a = 8.

Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b. Между величинами a, b и c у эллипса существует зависимость a 2 - b 2 = c 2, или b 2 = a 2 - c 2. В нашем случае b 2 = 64 - 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид

в) a = 12; e = 0,5; известно, что ; в этой формуле неизвестно c. Для его определения получаем уравнение

отсюда c = 6.

Теперь, зная, что a = 12, c = 6, пользуясь отношением a 2 - c 2 = b 2, найдем, что b 2 = 144 - 36 = 108; a 2 = 144.

Уравнение будет

.

г) b = 8; e = 0,6; , отсюда . Напишем соотношение a 2 - c 2 = b 2 и подставим в него c = 0,6 a; b = 8. Получим a 2 = 0,36 a 2 = 64; 0,64 a 2 = 64; a 2 = 100.

Уравнение эллипса будет иметь вид

д) a + b = 12, .

Для определения уравнения эллипса надо знать a и b. Нам известно, что ; c 2 = 18; a 2 - b 2 = c 2.

Поэтому (a + b)(a - b) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что a - b = 1,5.

Решая систему уравнений

получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде

Задача 32. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 4 x 2 + 9 y 2 = 144.

Решение:

Преобразуем это уравнение к простейшему виду

.

Разделив обе части заданного уравнения на 144, получим

.

Отсюда заключаем, что a 2 = 36, b 2 = 16. Значит, a = 6, 2 a = 12; b = 4, 2 b = 8. Зная a и b, из соотношения a 2 - c 2 = b 2 найдем c. Подставим a = 6; b = 4 и получим, что . Координаты фокусов будут и . Эксцентриситет эллипса



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: