Глава 3 Многочлены и их корни.

Семестр ФПМК ТГУ

Глава 1. Элементы теории множеств и комбинаторики.

Элементы теории множеств. Множество, натуральные числа, принцип индукции, равномощность, сравнение множеств по мощностям. Теорема Кантора- Бернштейна. Счётные множества, несчётные множества, операции над мощностями. Аксиомы теории множеств.

Частично упорядоченные множества. Фундированные множества.

Основные комбинаторные принципы. Наборы, размещения и сочетания. Биномиальная формула. Биномиальные коэффициенты. Числа Стирлинга 1 и 2 рода. Числа Белла. Задача о беспорядках. Задача о числе разбиений.

Принцип (формула) включения и исключения. Арифметические функции и принцип обращения Мёбиуса. Подстановки на конечном множестве. Инверсии. Чётность. Порядок. Декремент. Матрица подстановки. Разложение в произведение циклов. Орбита элемента и неподвижная точка подстановки.

Глава 2. Числовые системы.

Числовые системы (кольца целых чисел, классов вычетов целых чисел, целых р-адических чисел, поля рациональных, действительных н комплексных чисел, алгебра кватернионов)

Арифметика целых чисел. Целые числа: отношение делимости, наибольший общий делитель, деление с остатком. Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида, простые числа и основная теорема арифметики.

Отношение сравнимости целых чисел по модулю. Кольцо классов вычетов целых чисел.

Обратимые классы вычетов (было 1 сем).

Функция Эйлера и её мультипликативность. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма. Теорема Вильсона. Решение систем сравнений. Китайская теорема об остатках.

Кольцо и поле р-адических чисел.

Комплексные числа и кватернионы. Комплексные числа. Алгебраическая форма. Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Группа корней из 1.

Евклидово и унитарное пространство.

Гауссовы числа.

Глава 3 Многочлены и их корни.

Многочлены над полем (деление с остатком, алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида, основная теорема арифметики, арифметика остатков, построение конечных полей)

Многочлены и формальные степенные ряды одной переменной над коммутативным

кольцом. Основные свойства сложения и умножения многочленов. Степень суммы и

произведения многочленов. Теорема о делении с остатком. Разложение по степеням

фиксированного многочлена положительной степени.

Многочлены нескольких переменных над коммутативным кольцом. Соотношения для

степеней.

Многочлены над полем: отношение делимости, наибольший общий делитель, деление с остатком, алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида, неприводимые многочлены:

и основная теорема арифметики для многочленов одной переменной над полем.

Отношение сравнимости по модулю в кольце многочленов одной переменной над полем. Кольцо классов вычетов многочленов. Обратимость многочленов по модулю.

Расширение поля путём присоединения корня неприводимого многочлена.

Метод Кронекера разложения в конечное число шагов.

Корни многочленов

Корни многочленов одной переменной над целостным кольцом: теорема Безу, схема Горнера, кратные корни, теорема о числе корней.

Производная многочлена. Производная многочлена и кратные корни многочленов одной переменной над полем: критерий существования кратного корня. Производная и кратные множители, кратные корни над полем нулевой характеристики. Свободная от квадратов часть многочлена.

Метод Штурма отделения корней.

Методы интерполяции многочленов одной переменной над полем: метод Лагранжа,

метод Ньютона, интерполяция посредством решения системы линейных алгебраических

уравнений (метод неопределенных коэффициентов).

Симметрические многочлены над полем. Элементарные симметрические многочлены.

Основная теорема (теорема Гаусса) о симметрических многочленах. Представление симметрических многочленов через элементарные.

Результант двух многочленов одной переменной над полем. Основные свойства результанта. Результант многочленов как симметрическая функция корней.

Дискриминант. Выражение дискриминанта в виде результанта.

Формулы Виета.

Полиномиальные функции над целостным кольцом, бесконечным и конечным (полем).

(Глава 4. Линейные операторы и квадратичные формы (возможно, на 3 семестр).

Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы, их свойства. Диагонализируемые операторы. Билинейная, квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к главным осям.