Содержание.
Введение ___________________________________________________ 4
1. Требования к оформлению типового расчёта___________________ 4
2. Задания типового расчёта №1_________________________________ 6
3 Задания типового расчёта №2__________________________________37
4. Примерный список рекомендуемой литературы _________________53
Введение.
Данный типовой расчёт по математике состоит из двух частей и выполняется студентами в первом семестре. Первая часть типового расчёта включает в себя сборник задач по четырём разделам курса «Математика»: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Приложение дифференциального исчисления», «Неопределённый интеграл», «Определённый интеграл». Во вторую часть входят задачи из разделов «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Функции нескольких переменных».
Задачи типового расчёта разбиты на варианты и выполняются студентами по мере изучения учебного материала на лекциях и практических занятиях. После выполнения заданий проводится защита типового расчёта в устной или письменной форме (по усмотрению преподавателя).
Типовой расчёт может использоваться как учебное пособие при проведении практических занятий по указанным темам.
Требования к оформлению типового расчёта
Выполняя задания типового расчёта, студент должен указать номер задачи и записать её условие.
Решение задачи должно быть полным и подробным, с краткими пояснениями и ссылками (где это необходимо) на теоретический материал.
Каждый решённый номер типового расчёта сдаётся на проверку преподавателю, после чего возвращается студенту. В случае если есть замечания по выполнению работы, или же задача решена не верно, требуется сделать работу над ошибками и опять сдать решение задачи преподавателю на проверку.
Если замечаний по выполненному заданию нет, его можно оформлять, подготавливая работу к защите.
Типовой расчёт оформляется на одной стороне листа белой бумаги формата А4. Все страницы типового расчёта должны иметь сквозную нумерацию, начиная с титульного листа и заканчивая последней страницей, но сам номер страницы проставляется, начиная с содержания. Титульный лист включается в общую нумерацию, номер на нем не ставится. Номер страницы ставится в центре нижней части листа без точки.
Если в типовом расчёте есть рисунки, то на все рисунки в тексте должны быть даны ссылки. Рисунки должны располагаться непосредственно после текста, в котором они упоминаются впервые, или на следующей странице. Рисунки нумеруются арабскими цифрами.
Каждую формулу и уравнение следует выделять в отдельную строку. Если уравнение не умещается в одну строку, то оно должно быть перенесено после знака равенства (=) или после знаков плюс (+), минус (-), умножения (х), деления (:), или других математических знаков, причем этот знак в начале следующей строки повторяют. При переносе формулы на знаке, символизирующем операцию умножения, применяют знак «х».
(образец титульного листа)
ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный агротехнологический университет имени П.А. Костычева»
Кафедра высшей математики
Типовой расчёт №1
по математике
I семестр
Вариант № _________
Выполнил(а):_______________________
Студент(ка) гр.____
направление «Электроэнергетика и электротехника»
Проверил преподаватель:
_____________________________
Рязань _______ год
Задания типового расчёта №1
Темы:
«Предел функции»
«Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
«Приложение дифференциального исчисления»
«Неопределённый интеграл»
«Определённый интеграл»
Задание №1
Найти указанные пределы:
1.1. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.2. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.3. 
; ; 
;
; ; .
1.4. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.5. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.6. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.7. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.8. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.9. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.10. 
; 
; 
.
; 
; 
.
1.11. 
; ; ;
; 
; 
.
1.12. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.13. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.14. 
; 
; 
;
; 
; .
1.15. 
; 
; 
;
; 
; .
1.16. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.17. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.18. 
; 
; 
.
; 
; 
.
1.19. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.20. 
; 
; 
.
; 
; 
.
1.21. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.22. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.23. 
; ; 
;
; 
; 
.
1.24. 
; ; 
;
; 
; 
.
1.25. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.26. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.27. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.28. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.29. 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.30. 
; 
; 
;
; 
; 
.
Задание №2.
Найти производные следующих функций, пользуясь определением производной:
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 2.16 
2.17 
2.18 
2.19 
2.20 
2.21 
2.22 
2.23 
2.24 
2.25 
2.26 
2.27 
2.28 
2.29 
2.30 
Задание №3
Найти производные следующих функций.
3.1. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.2. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.3. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.4. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.5. а) 
; б) 
;
б) 
; в) 
.
3.6. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.7. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.8. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.9. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.10. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.11. а) 
б) .
в) 
; г) 
.
3.12. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.13. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.14. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.15. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.16. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.17. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.18. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.19. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3.20. а) 
; б) 
;
в) 
; г) .
3.21. а) 
; б) 
;
в) ; г) .
3.22. а) 
; б) 
;
в) ; г) .
3.23. а) 
; б) ;
в) ; г) .
3.24. а) 
; б) ;
в) ; г) .
3.25. а) 
; б) 
;
в) ; г) .
3.26. а) 
; б) 
;
в) ; г) .
3.27. а) 
; б) 
;
в) ; г) .
3.28. а) 
; б) 
;
в) 
; г) .
3.29. а) 
; б) 
;
в) ; г) .
3.30. а) 
; б) 
;
в) ; г) .
Задание 4.
Найти производную указанного порядка.
4.1. 
4.2. 
4.3. 
4.4. 
4.5. 
4.6. 
4.7. 
4.8. 
4.9. 
4.10. 
4.11. 
4.12. 
4.13. 
4.14. 
4.15. 
4.16. 
4.17. 
4.18. 
4.19. 
4.20. 
4.21. 
4.22. 
4.23. 
4.24. 
4.25. 
4.26. 
4.27. 
4.28. 
4.29. 
4.30. 
Задание 5.
Найти производную второго порядка 
от функции, заданной параметрически.
5.1. 
5.2. 
5.3. 
5.4. 
5.5. 
5.6. 
5.7. 
5.8. 
5.9. 
5.10. 
5.11. 
5.12. 
5.13. 
5.14. 
5.15. 
5.16. 
5.17. 
5.18. 
5.19. 
5.20. 
5.21. 
5.22. 
5.23. 
5.24. 
5.25. 
5.26. 
5.27. 
5.28. 
5.29. 
5.30. 
Задание №6
Найти пределы, используя правило Лопиталя.
6.1. ; ;
; .
6.2. ; ;
; .
6.3. ; ;
; .
6.4. ; ;
; .
6.5. ; ;
; .
6.6. ; ;
; .
6.7. 
; ;
; .
6.8. ; ;
; .
6.9. ; ;
; .
6.10. ; .
; .
6.11. ; ;
; .
6.12. ; ;
; .
6.13. ; ;
; .
6.14. ; ;
; .
6.15. ; ;
; .
6.16. ; ;
; 
.
6.17. 
; ;
; .
6.18. ; .
; .
6.19. ; ;
; 
.
6.20. ; .
; .
6.21. ; ;
; 
.
6.22. ; ;
; .
6.23. ; ;
; .
6.24. ; ;
; .
6.25. ; ;
; .
6.26. ; ;
; .
6.27. ; 
;
; .
6.28. ; ;
; .
6.29. ; ;
; .
6.30. 
; 
;
; .
Задание №7
Провести полное исследование функции и построить её график.
7.1. 
7.2. 
7.3. 
7.4. 
7.5. 
7.6. 
7.7. 
7.8. 
7.9. 
7.10. 
7.11. 
7.12. 
7.13. 
7.14. 
7.15. 
7.16. 
7.17. 
7.18. 
7.19. 
7.20. 
7.21. 
7.22. 
7.23. 
7.24. 
7.25. 
7.26. 
7.27. 
7.28. 
7.29. 
7.30. 
Задание № 8.
Решить задачу средствами дифференциального исчисления.
8.1. Дождевая капля, начальная масса которой 
, падает под действием силы
тяжести, равномерно испаряясь. Убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд от начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?
8.2. На эллипсе 
даны две точки А (1; 4), В (3; 0). Найти на данном эллипсе третью точку С такую, что площадь треугольника ABC была наибольшей.
8.3. Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объёмом (задача Кеплера).
8.4. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин его катетов равна заданному числу (задача Ферма).
8.5. Через точку А (3; 5) провести прямую с отрицательным угловом коэффициентом так, чтобы площадь треугольника, образованного ею с осями координат была наименьшей.
8.6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 
. Каковы должны быть катеты, чтобы периметр треуго