Квадратный трёхчлен в олимпиадных задачах

◊1. Найдите расстояние от точки до прямой .

◊2. Корабль плывёт по прямой с постоянной скоростью. В 12:00 он был на расстоянии 40 км от маяка, в 13:00 — на расстоянии 25 км от маяка, в 14:00 — на расстоянии 30 км от маяка. Когда он будет ближе всего к маяку, и каково это расстояние? Какова скорость корабля?

◊3. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент они не находились на одной прямой.
Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

◊4. Верно ли, что если , то квадратное уравнение имеет два корня?

◊5. Докажите, что если , , то уравнение имеет два корня.

◊6. Докажите, что если для некоторых вещественных чисел ,
то .

◊7. Квадратный трёхчлен принимает в точках ¹/ _a и c значения разных знаков. Докажите, что корни трёхчлена имеют разные знаки.

◊8. Докажите, что при любых ненулевых числах a, b, c хотя бы одно из квадратных уравнений , и имеет корень.

◊9. На рисунках 1, 2 изображены графики трёх квадратных трёхчленов. Могут ли это быть трёхчлены , , ?

◊10. Сергей Валентинович написал на доске квадратный трёхчлен , после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу.
В результате на доске оказался написан квадратный трёхчлен .
Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

◊11. Квадратный трёхчлен имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что число — составное.

◊12. Найдите все целые a, при которых уравнение имеет целый корень.

◊13. Корни уравнения , у которого , являются целыми числами. Найдите эти корни.

◊14. На параболе выбраны четыре точки A, B, C, D так, что прямые AB и CD пересекаются на оси ординат. Найдите абсциссу точки D, если абсциссы точек A, B и C равны a, b и c соответственно.

◊15. Прямая пересекает параболу в точках с абсциссами и , а ось абсцисс в точке . Докажите, что .

◊16. Даны оси координат и прямая l. На прямой l отмечена одна из точек её пересечения с гиперболой . Постройте вторую точку пересечения прямой и гиперболы.

◊17. а) Докажите, что середины параллельных хорд параболы, лежат на одной прямой, параллельной оси параболы.
б) На координатной плоскости построена парабола . Оси координат стёрли. Требуется их восстановить.

◊18. На координатной плоскости (рис. 3) изображены графики функций и .
Найдите значения b и c.

◊19. Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом — два отрицательных?

◊20. Известно, что оба корня квадратичной функции больше 57, а оба корня квадратичной функции меньше 57
(). Может ли функция иметь два корня, один из которых больше 57, а другой — меньше?

◊21. Вася написал на доске пять целых чисел — коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Люба стёрла одно из них. Остались числа 2, 3, 4, – 5. Восстановите стёртое число.

◊22. Все коэффициенты квадратного трёхчлена — целые нечётные числа.
Может ли он иметь два целых корня?

◊23. Рассматриваются квадратичные функции , у которых . Докажите, что их графики проходят через одну точку.

◊24. Угол, образованный лучами и при , высекает на параболе две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

◊25. На доске написано уравнение . Докажите, что любую тройку попарно различных целых чисел можно так расставить в уравнение вместо ⁎, что полученное уравнение будет иметь по крайней мере один корень.