Понятия о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрываются во взаимосвязи. Работа над ними ведется с I класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала
Числовые равенства и неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Два равных числа или два выражения, имеющие равные значения, соединенные знаком «=», образуют равенство. Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом, первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах.
Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.
Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно однозначного соответствии. Этому способу сравнения учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и cpавнение полученных чисел (кругов 7, треугольников 4), кругов больше, чем треугольников, 7 больше, чем 4). В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся определяют их место в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, потому что при счёте число 9 называют перед числом 10 и т.д. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», «=», учащиеся упражняются в чтении равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7 десятков больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а единиц в первом числе больше, чем во втором).
Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в 1-4 классах предлагать разнообразные задания, например:
1) подберите равную величину:
7 км 500 м =… м,
3080 кг = … т … кг.
2) Подберите числовые значения величин так, чтобы запись была верной:
… ч < … мин,
… см =… дм … см. и др.
3) Вставьте наименования у величин так, чтобы запись была верной:
35 км =35 000….
16 мин >16….
17 т 5 ц=17500…
4) Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны:
4 т 8 ц=480 кг,
100 мин =1 ч,
2 м 5 см =250 см.
Подобные задания помогают детям усвоить не только понятия равных и неравных величин, но и отношения единиц измерения.
Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Первые неравенства вида 3+1 >3, 3-1<З полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. Например, на классном наборном полотне и па партах отложено 3 треугольника и 3 круга и записано: 3 = 3. Учитель предлагает детям придвинуть к 3 треугольникам еще 1 треугольник и записать это (3+1-запись под треугольниками). Число кругов не уменьшилось (3). Учащиеся сравнивают число треугольников и кругов и убеждаются, что треугольников больше, чем кругов (4>3), значит, можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). Аналогичная работа ведется над неравенством 3-1<З (три минус один меньше, чем три).
В дальнейшем выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами; находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:
5+3>5, 2<7-4, 7=4+3, 8>5, 2<3, 7=7
После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т.п.
Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а = b, то b=a; если а>b, то b<а).
Дети видят, что если кругов и треугольников поровну, то можно сказать, что кругов столько, сколько треугольников (3+2=5), а также треугольников столько, сколько кругов (5=3+2). Если же предметов не поровну, то одних больше (3+1>3), а других меньше (3<3+1).
В дальнейшем при изучении действий в пределах 100, 1000 и 1000000 упражнения на сравнение выражения и числа даются на новом числовом материале, и увеличивается количество чисел и знаков действий в выражениях.
Сравнивая неоднократно специально подобранные выражения и числа, например: 17+0 и 17, 19-0 и 19, 7-1 и 7, 0:5 и 0, с+1 и с, с: 1 и с и т.п., учащиеся накапливают наблюдения об особых случаях действий, глубже осознают конкретный смысл действий. Упражнения на сравнение выражений и числа закрепляют умения читать выражения и способствуют формированию вычислительных навыков.
Сравнить выражения - значит, сравнить их значения. Сравнение выражений впервые включается уже в конце изучения сложения и вычитания в пределах 10, а затем при изучении действий во всех концентрах эти задания систематически предлагаются учащимся. Например, надо сравнить суммы: 6+4 и 6+3. Ученик рассуждает так: первая сумма равна 10, вторая - 9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается в записях:
6+4>6+3, 7-5<7- 3, 4+4=10-2, 10>9, 2<1 8=8
При изучении действий в других концентрах задания на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания:
- вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства;
- проверить, верные ли равенства (неравенства) даны, неверные исправить, изменить знак отношения или число в одном из выражений;
- составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства.
Сами выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая выражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между компонентами и результатами действий. Например, после того как установили с помощью вычислений, что сумма 60+40 больше суммы 60+30, учитель предлагает сравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые слагаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше, чем во второй. Много раз подмечая эту зависимость, учащиеся приходят к обобщению и затем свои знания используют при сравнении выражений.
Таким образом, при изучении всех концентров задания на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, а также формированию вычислительных навыков.