Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=f(х) определена на промежутке X и диффе­ренцируема в некоторой окрестности точки Тогда существу­ет конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

где — бесконечно малая величина при откуда

(9.1)

Таким образом, приращение функции состоит из двух сла­гаемых: 1) линейного относительно 2) нелинейного (представ­ляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем ибо

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная про­изведению производной на приращение независимой переменной

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Проведем касательную к кривой у=f(х) в точке М, которая образует угол с положительным направлением оси Ох, т.е. Из прямоугольного треугольника MKN

т.е. в соответствии с (9.2) dy=KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции у=f(х) в данной точке, когда х получает приращение .

Не следует думать, что всегда Так, на рис. 9.2 показан случай, когда

Свойства дифференциала. Свойства дифференциала в основ­ном аналогичны свойствам производной. Приведем их без дока­зательства:

1. dc=0. 4. d(uv)=v du+u dv

2. d(cu)c du. 5.

3.

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная.

Инвариантность формы дифференциала. Рассматривая выше y=f(x) как функцию независимой переменной х, мы получили, что dy=f '(x)dx. Рассмотрим функцию y=f(u), где аргумент сам является функцией от х, т.е. рассмотрим сложную функцию Если функции y=f(u) и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной в 7.4, равна

Тогда дифференциал функции

ибо по формуле (9.2) и Итак,

(9.4)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной л рассматривать функцию от зависимой переменной и. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неиз­менности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в содержании формул (9.3) и (9.4) все же есть разли­чие: в формуле (9.3) дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. а в формуле (9.4) дифференциал функции du есть лишь линейная часть при­ращения этой функции и только при малых

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что т.е. при­ращение функции отличается от ее дифференциала dy на бес­конечно малую величину более высокого порядка, чем

Поэтому при достаточно малых значениях или откуда

(9.5)

Чем меньше значение тем точнее формула (9.5).

Формула (9.5) может оказаться полезной в приближенных вы­числениях.

Пример 9.3. Вычислить приближенно: а) б) tg 46°.

Решение. а) Получим вначале приближенную формулу для вычисления корней любой n -й степени. Полагая найдем и в соответствии с (9.4) или В данном примере

В качестве х возьмем число, наиболее близкое к 16, 64, но чтобы был известен при этом должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять х = 16, =0,64 (но, например, не х = 9, =7,64!). Итак,

б) Полагая f(x)=tgх, найдем и в соответствии с (9.4) Учитывая, что возьмем и Тогда

Используя дифференциал, по формуле (9.5) легко получить формулы, часто используемые на практике при

С помощью дифференциала может быть решена задача опре­деления абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции y=f(x) при некотором значении аргумента x_l, истинная величина кото­рого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение х с абсолютной погрешностью Если вместо истинного значения возьмем величину f(х), то мы допустим ошибку, равную

При этом относительная погрешность функции может быть вычислена (при достаточно малых ) по формуле:

или

(9.6)

где — эластичность функции (см. 7.6) (по абсолютной величине); — относительная погрешность нахождения

Пример 9.4. Расход бензина у (л) автомобиля на 100 км пу­ти в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией y=18-0,3x-0,003x². Оценить относительную погрешность вы­числения расхода бензина при скорости х=90 км/ч с точностью до 5%.

Решение. Найдем эластичность функции (по абсолютной величине)

При х=90 и по формуле (9.5) относительная погрешность

Пример 9.5. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?

Решение. Объем шара радиуса х равен Найдем и по формуле (9.6)

Существенным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность вычисле­ния значений функций с наперед заданной точностью. Этого недостатка лишено использование рядов в приближенных вычис­лениях (см. 14.3).