Г.В. Глебович
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫИ ОСНОВЫСИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Лекции по курсу "Основы теории цепей"
Горький - 1968
ПРЕДИСЛОВИЕ
В учебные планы радиотехнических факультетов для студентов специальности "Радиотехника" введен курс "Основы теории цепей" В него включен материал, ранее изучавшийся в курсах "Теоретические основы электротехники" и "Теоретические основы радиотехники".
Потребовался коренной пересмотр ряда разделов этих курсов, а также в соответствии с программой были включены новые разделы, в изучении которых появилась настоятельная необходимость.
Содержанием пособия являются два крупных раздела курса "Основы теории цепей" - анализ переходных процессов и основы синтеза линейных радиотехнических цепей. Последний раздел ранее практически не изучался в упомянутых курсах.
Первый раздел изложен кратко и по существу соответствует объему читаемых автором лекций. Второй раздел изложен более полно, несколько выходя за объем лекций.
Автор весьма признателен доценту, к.т.н. К.П. Полову за ценные замечания, сделанные им при рецензировании рукописи пособия, а также благодарен сотрудникам кафедры радиотехники за советы и замечания, высказанные ими при обсуждении рукописи.
Автор
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫВ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Введение
Современные радиотехнические системы часто включают в себя комплекс достаточно сложных электрических цепей, среди которых разнообразные линейные цепи.
В зависимости от характера воздействующих э.д.с. и назначения линейных цепей в них могут протекать самые различные процессы. Поэтому необходимо иметь ясное представление о таких процессах и уметь рассчитывать их для определенной цепи при заданном воздействии. Это относится к задачам анализа процессов в цепях. Среди них все больший интерес вызывают задачи, связанные с процессами в различных импульсных системах.
В этих задачах кроме анализа установившихся или стационарных процессов важное значение имеет анализ переходных процессов, возникающих при включении или выключении э.д.с. и при воздействии импульсных сигналов.
Переходные процессы, протекающие в линейных цепях, также, как и стационарные, подчиняются законам Кирхгофа, которые позволяют установить связь между э.д.с., действующей в некоторой ветви цепи и током в любой ветви.
Записанные для цепи уравнения Кирхгофа обычно приводятся к линейному дифференциальному уравнению, порядок которого зависит от числа реактивных элементов и сложности цепи.
Изучить процесс, возникающий в цепи под действием э.д.с., означает найти решение уравнения и исследовать его поведение вдоль всей временной оси.
Если по истечении некоторого времени с момента начала действия э.д.с. на цепь в ней устанавливается стационарный режим, отличный от стационарного режима, имевшегося до начала действия э.д.с., то это время, определяющее длительность переходного процесса, называют временем установления. Характер переходного процесса и величина времени установления часто являются главными факторами, от которых зависит правильность функционирования радиотехнического устройства.
Как уже говорилось, связь между током в любой ветви цепи и действующей э.д.с. устанавливается дифференциальным уравнением, которое в общем случае выглядит так:
(0.1)
где 
(K = 0, 1, 2,... n) - постоянные коэффициенты, зависящие от величины элементов цепи, i - ток в цепи, e(t)- внешняя э.д.с. произвольного вида.
Известно, что решение уравнения (0.l) может быть представлено в форме суммы
(0.2)
Здесь i2(t) - частное решение уравнения с правой частью, в качестве которого обычно принимается стационарное (вынужденное) решение, определяющее связь между i(t) и e(t) в установившемся режиме; i1 (t) - решение однородного уравнения (правая часть равна нулю), определяющее переходной процесс в цепи.
Если цепь такова, что, то можно указать времен ной интервал 
конечной величины, по истечению которого с момента начала действия э.д.с. в цепи практически установится стационарный режим.
Поскольку i1(t) есть решение уравнения без правой части, то длительность переходного процесса не зависит от интенсивности и характера входного воздействия, а определяется свойствами цепи. Характер переходного процесса также существенно зависит от свойств цепи.
Возможность представления решения уравнения (0.l) в виде (0.2) опирается на основное свойство линейных цепей, выражающееся в принципе суперпозиции.
Найти решение (0.2) можно и с помощью других способов, основанных на принципе суперпозиции. Так, э.д.с. сложной формы удобно рассматривать как образованную в результате сложения элементарных э.д.с. некоторой основной формы. Находя переходный процесс, вызванный действием всех элементарных э.д.с., образующих данную сложную э.д.с., и затем суммируя полученные результаты, оказывается возможным нахождение всего переходного процесса.
В зависимости от вида элементарных э.д.с. и особенностей вычисления результирующего переходного процесса различают ряд методов анализа. Основные из них - спектральный метод, основанный на преобразовании Фурье, операторный, использующий преобразование Лапласа и временной метод, основанный на интеграле Дюамеля.
Перечисленные методы во многих случаях существенно упрощают нахождение решения уравнения (0.l). Развитие этих методов привело к тому, что каждый из них позволяет на своем языке характеризовать существенные для практики свойства цепей без обращения к их дифференциальным уравнениям. Это придало большую самостоятельность этим методам и позволяет говорить о них, как об основных методах анализа процессов в линейных цепях. Их особенности и примеры применения будут рассмотрены в последующих главах.
Глава 1
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
Метод решения линейных дифференциальных уравнений, или так называемый классический метод, основан на отыскании решения вида (0.2) для уравнения (0.l).
Так, при подключении э.д.с, e(t) к последовательно соединенным индуктивности L , емкости С и активному сопротивлению R, на основании второго закона Кирхгофа получаем уравнение
которое приводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка
(1.1)
Согласно выражению (0.2) решение этого уравнения записывается в виде
(1.2)
То есть, процесс, происходящий в цепи, рассматривается условно состоящим из двух процессов — вынужденного, который наступил как бы сразу (ток i2), и свободного, наблюдающегося только во время переходного процесса (ток i1). Уместно отметить, что в рассматриваемой цепи физически существует только один ток i, а его представление в виде суммы токов i1 и i2 является удобным приемом, облегчающим расчеты при данном методе анализа.
Известно, что в результате интегрирования уравнения (1.1),или в общем случае уравнения (0.l),eгo решение включает в себя постоянные интегрирования, которые должны быть определены по начальным значениям основных физических величин, т.е. необходимо знать начальные (при t= 0) токи в индуктивностях и заряды на емкостях, иначе говоря, надо знать начальные условия задачи.
В общем случае уравнения (0.l) для n постоянных интегрирования 
c учетом n начальных условии составляют дополнительно n уравнений, из которых находятся постоянные интегрирования. После этого окончательно может быть найден вид решения (0.2) или, в данном случае, решения (l.2).
Если анализируемая цепь содержит несколько взаимосвязанных контуров, то при составлении дифференциального уравнения удобно пользоваться методом контурных токов. Сначала образуется система из m уравнений относительно m неизвестных контурных токов. Порядок каждого уравнения не выше второго. Если в контуре сложной цепи имеется несколько индуктивностей и емкостей, то они могут быть сведены (например, заменой двух емкостей одной эквивалентной) к одной независимой емкости и одной индуктивности.
Затем путем исключения всех токов, кроме одного интересующего, получают одно дифференциальное уравнение порядка 
относительно выбранного тока. Порядок уравнения равен числу независимых реактивных элементов (накопителей энергии) в цепи.
Хотя процесс анализа переходных явлений методом решения дифференциальных уравнений достаточно наглядно вскрывает физические процессы вцепи, этот метод оказывается громоздким для случая сложных разветвленных цепей, когда определение постоянных интегрирования связано с составлением и решением системы из n уравнений. Нахождение же этим методом переходных процессов впростейших цепях не вызывает трудностей и способствует пониманию физических явлений. Убедимся вэтом на ряде примеров, часто встречающихся на практике.
1.2. Включение цепи R, C на постоянное напряжение
Пусть в момент t=0 цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления R и не заряженной емкости C, подключается к источнику постоянного напряжения E (рис.1.1). Наличие переходного процесса в данной цепи связано с тем, что при весьма кратковременном ("мгновенном") изменении внешнего воздействия энергия поля конденсатора не может измениться мгновенно. Действительно, при скачкообразном изменении запаса энергии в цепи мощность, потребляемая цепью, принимала бы бесконечно большое значение, что не имеет физического смысла. Энергия электрического поля емкости
Поэтому условие отсутствия скачкообразного изменения энергии означает, что в цепи R, C напряжение на емкости 
скачком изменяться не может.
Выясним законы изменения напряжения на элементах схемы во времени, т.е. найдем характер переходного процесса. На основании второго закона Кирхгофа для данной цепи при t = 0 имеем
(1.3)
где 
и - соответственно падение напряжения на сопротивлении и напряжение на емкости C. С момента включения цепи начинается заряд конденсатора через активное сопротивление. Ток в цепи 
, a напряжение на сопротивлении 
.
Тогда выражение (l.3) принимает вид
(1.4)
Общее решение полученного линейного дифференциального уравнения первого порядка (l.4) представим аналогично выражению (l.2) в виде суммы напряжений на емкости 
- для свободного процесса и 
- для вынужденного процесса в цепи
(1.5)
Напряжение должно быть равно напряжению источника E к концу переходного процесса, так как конденсатор зарядится до напряжения E при 
. Напряжение есть решение однородного уравнения
т.е. имеет вид
где A – постоянная интегрирования, а 
- постоянная времени цепи заряда конденсатора, т.е. время, за которое напряжение 
уменьшается в 
раз. Зная выражение для , подставим его в равенство (1.5) и получи решение уравнения (1.4).
(1.6)
Постоянная A определяется из начальных условий для данной цепи, заключающихся в том, что при t=0, = 0, так как в момент включения цепи напряжение на конденсаторе скачком измениться не может в силу непрерывного характера изменения энергии электрического поля конденсатора. Таким образом, при t=0 из (l.6) имеем 0=A+E т.е. A=-E и
Напряжение на конденсаторе в процессе его заряда возрастает no экспоненциальному закону, приближаясь к величине E тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи 
. Теоретически 
при 
. Однако на практики вводят понятие времени установления стационарного процесса 
, определяемое из условия, что за это время напряжение на емкости достигает величины 0,95 E, т.е.
откуда получаем
или
Время установления также часто определяется как разность моментов времени 
и 
, т.e. 
. Здесь в моменты 
и 
напряжение на емкости достигает соответственно значений 0,l E и 0,8 E, т.е. имеют место равенства
откуда определяется время установления
Для тока в цепи находим выражение
(1.8)
т.е. ток убывает по экспоненциальному закону, а следовательно, и напряжение на сопротивлении 
также убывает по этому закону, ибо
(1.9)
Как видно из (1.8),при t=0 
, т.е. он изменяется скачком от нуля до 
. В цепи R, C скачок тока допустим.
Графики изменения напряжений в цепи приведены на рис.1.2.
В процессе заряда емкости половина энергии, отдаваемой источником, переходит в энергию, запасаемую емкостью, а вторая половина расходуется в активном сопротивлении, переходя в тепло. Энергия, расходуемая на сопротивлении
где 
- энергия, накопленная в емкости.