Понятие первообразной функции.
Функция называется первообразной функцией функции на интервале , если всюду на интервале существует производная и эта производная .
Замечание. В определении 1.1 интервал может быть заменён на всю бесконечную прямую , либо на одну из бесконечных полупрямых .
Примеры: функция является первообразной функции на интервале , так как всюду на этом интервале ; функция является первообразной функции на бесконечной прямой , так как в любой точке этой прямой ; функция является первообразной функции на бесконечной полупрямой , так как в каждой точке полупрямой .
Если функция является первообразной функции на интервале , то функция , где – произвольная постоянная, также является первообразной функции на интервале, так как .
Следующая теорема устанавливает связь между различными первообразными одной и той же функции.
Теорема 1.1. Если и – любые две первообразные функции на интервале , то всюду на этом интервале , где – некоторая постоянная.
Доказательство. Обозначим через разность функций и . Тогда в каждой точке интервала существует . Из теоремы 1.4 главы 7 следует, что . Теорема 1.1 доказана.
Следствие из теоремы 1.1. Если является одной из первообразных функции на интервале , то любая первообразная функции на этом интервале имеет вид , где - некоторая постоянная.
Неопределённый интеграл.
Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределённым интегралом и обозначается символом
Знак называется знаком интеграла, выражение - подынтегральным выражением, а сама функция - подынтегральной функцией, – переменной интегрирования.
Из приведенного выше следствия непосредственно вытекает, что если является одной из первообразных функции на интервале , то
где - произвольная постоянная.
3. Основные свойства неопределённого интеграла.
1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
Это равенство непосредственно вытекает из равенства (1):
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
Действительно, если одна из первообразных функции , то
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной
.
В самом деле, так как то .
Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.
4. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т.е.
где .
Действительно, если первообразная функции , то – первообразная функции , так как . Из чего следует, что
, где .
5. Неопределённый интеграл от суммы или разности двух функций равен соответственно сумме или разности неопределённых интегралов этих функций, т.е.
Действительно, пусть и первообразные функций и соответственно:
Так как , то функция является первообразной функции .
, где Следовательно
4. Таблица основных интегралов.
Приведённые ниже интегралы принято называть табличными интегралами.
1.
2. .
3.
4.
5.
6.
7.
8. .
9.
10.
11.
12. .
13.
Справедливость всех приведённых формул, за исключением формул 4, 12, 13, непосредственно следует из определения неопределённого интеграла и таблицы производных элементарных функций. Сделаем замечания в отношении формул 4, 12 и 13. Формула 4 справедлива для любого интервала, не содержащего точки . Действительно, если то из равенства заключаем, что , а если , то из равенства заключаем, что . Следовательно, формула 4 справедлива для любого .
Докажем равенство 12.
Рассмотрим функцию Очевидно, в каждой точке бесконечной прямой , Поэтому
Следовательно
Рассмотрим теперь функцию . Данная функция определена на множестве . Если то , поэтому для любой точки полупрямой
Следовательно, на полупрямой справедливо равенство
Очевидно, на полупрямой , . Поэтому
Т.е. и на полупрямой , справедливо равенство
Справедливость равенства (13) проверить самостоятельно.