Рассмотрим задачу. Рассчитать, сколько надо купить краски, чтобы покрасить потолок комнаты; или сколько нужно купить кафельных плиток для облицовки стены.
Возникает вопрос: какими данными нужно оперировать, чтобы решить поставленную проблему? Должно быть известно, например, что на окраску 1м2 уходит 120г краски; или, что плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см. Будет ли иметь значение при нашей задаче, какого цвета этот потолок, из какого материала они построены и т. д.? Конечно нет. А что важно знать? Надо знать их форму и размеры. Мы отвлекаемся (абстрагируемся) от некоторых свойств рассматриваемого предмета (потолка). В результате такого абстрагирования получаем математический объект - геометрическую фигуру.
Математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических точек, фигур, чисел и т. д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития людей и существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
Математические объекты - это идеальные объекты, отражающие (описывающие) реальные объекты.
Определение. Объект - это то, что является предметом рассмотрения (изучения, воздействия).
Определение. Математические задачи -это задачи, в которых объектами являются математические объекты (фигуры, числа).
Определение. Прикладными задачами в математике называют задачи, условия которых содержат нематематические понятия.
Решая прикладную задачу, сначала создают ее математическую модель.
Например, уменьшенные модели самолета, плотины, автомобиля – примеры физических моделей.
Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, уравнения, неравенства, геометрические фигуры и т. д.
Математическое моделирование находит применение при решении многих текстовых задач. Уже уравнение, составленное по условию задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью. Чертеж фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней данными и искомыми тоже является геометрической моделью задачи.
Рассмотрим пример.
Задача. Оштукатуренная стена длиной 8,25 м и высотой 4,32 м имеет три окна размером 2,2 x 1,2 м каждое. Найдите площадь той поверхности стены, которая покрыта штукатуркой.
Рассуждаем. Данная задача относится к математическим или к прикладным? Назовите объекты данной задачи? Они математические или реальные?
Нетрудно заметить, что стена и окна имеют форму прямоугольников.
Задание. Переформулируйте данную практическую задачу в геометрическую и решите ее. Для этого нужно изобразить геометрическую модель задачи. В этом примере реальные объекты - стену и окна - мы заменяем математическими объектами - прямоугольниками, для чего приходится абстрагироваться (отвлечься) от некоторых особенностей этих реальных объектов (каких именно?).
Проанализируйте ответ сначала математической задачи, а потом практической. Попытайтесь сделать общий вывод, связанный с решением прикладной задачи.
Реальное явление, описанное в задаче, мы заменяем идеализированным явлением - геометрической задачей, а поэтому наше решение является приближенным (ошибка может быть в пределах нескольких сантиметров). Математическое решение любой практической задачи всегда является приближенным.
В тетради записываем число:
Двадцать четвертое марта
Домашняя работа
Метод математического моделирования. Решение задач с практическим содержанием
Задание. Придумайте (составьте, подберите) две задачи: одну математическую, другую прикладную. В каждой из задач назовите объекты, рассмотренные в задачах.
Результаты выполненной работы предоставить до следующего занятия в электронном виде.