Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т. х и x+Dx Î [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.
Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.
(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)
Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) g(a)=g(b)=0
Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.
Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен)
Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g '(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î (a,b), что выполняется равенство (1)
 |
Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g '(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g '(х)≠0. Образуем вспомогательную функцию:
К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c Î (a,b),, такая, что F'(c)=0. Вычисляем:
Подставляем x=c:
После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1)
Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии)
Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.
Раскрытие ¥/¥. Второе правило.
Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.
Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.
Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр.0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0
Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума)
Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке.
Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум.Если f’(x)<0 слева от точки с и f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум.
Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.
(док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное условие локального экстремума)
Два достаточных условия экстремума.