Применим к уравнениям (3.4) линейное преобразование посредством собственных векторов 
, образующих матрицу 
. Собственные векторы, соответствующие корням характеристического уравнения (собственным числам), определяются из решения однородного уравнения [4]
(3.10)
Если все собственные числа различны, то матрица S, составленная из собственных столбцов 
, является неособой и удовлетворяет тождеству
Тогда уравнения (3.4) приводятся к виду:
(3.11)
Разделив второе уравнение (3.11) на первое, получим
(3.12)
Это уравнение легко интегрируется
(3.13)
Пусть 
– больший корень характеристического уравнения, и если 
и 
– одного знака, то получаются интегральные кривые параболического типа.
Все интегральные кривые (кроме оси 
, которой соответствует 
) касаются в начале координат оси 
– также интегральной кривой. Выясним направление движения на фазовой плоскости. Если (
, ) – отрицательны, то, как следует из уравнений (3.11), 
и 
убывают с течением времени.
Изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, никогда, однако, не достигнув его в конечное время, так как это бы противоречило теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна траектория системы. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, называется «узел » (рис. 4.1). Очевидно, что состояние равновесия, соответствующее «узлу» (при <0, <0), устойчиво по Ляпунову, т. к. изображающая точка по всем интегральным кривым движется к началу координат (устойчивый «узел » – рис. 4.1 а).
 |
 |  | ||
| |||||
| |||||
| |||||
Если же 
>0, 
>0, то и возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат (неустойчивый «узел » – рис. 3.1 б). В общем виде характер поведения интегральных кривых вокруг состояния равновесия не будет изменяться, но касательные определяемые элементами собственной матрицы S, могут не совпадать с осями координат.
БИЛЕТ№15
Для описания процесса аккумуляции знаний при научно-техническом развитии Исенсеном предложена следующая математическая модель:
(2.19)
где 
– общее количество имеющейся информации; 
– общее количество научных сотрудников; 
– коэффициент связи между учеными (обычно 
), что соответствует общему числу возможных связей между учеными.
Как и в модели Холтона, предполагается, что
(2.20)
Модель Исенсена обычно рассматривается для
(2.21)
тогда, в результате интегрирования, получим
(2.22)
Недостаток модели Исенсена состоит в том, что если число ученых велико, то квадратичный член теряет практический смысл. В области же малых модель Исенсена хорошо представляет процесс рождения новой информации сотрудничающими между собой членами научной группы.
Модели эндогенной ИД в той или иной степени учитывают воздействие науки и техники на эффективность развития системы, причем в отличие от моделей экзогенной ИД это воздействие предполагается целенаправленным и управляемым.
Например, можно учесть влияние эндогенной ИД с помощью управляющих воздействий на некоторый функционал, описывающий формирование производственных функций на микроуровне. В методологическом плане этот подход к построению макромоделей на основе микроанализа примыкает к методам статистической физики. В основе этого подхода лежат следующие три концепции.
1) вводится производственный функционал вместо производственной функции;
2) учитывается разновременность создания производственных фондов (их неоднородность);
3) впервые вводится новая количественная характеристика ИД 
– «технологический уровень» системы. Остановимся более подробно на этом подходе. Пусть экономико-организационная система описывается рядом микропоказателей и макропоказателей, причем все макропоказатели могут быть интегрально оценены с помощью микропоказателей.
БИЛЕТ№16
Обобщенная модель научно-технического развития была предложена научным сотрудником корпорации «Локхид эйкрафт» А.Л. Флойдом. В этой модели делается попытка проанализировать причины научно-технического развития системы, исходя из вероятностного характера взаимодействия различных ученых, занимающихся данной системой с учетом множества возможных альтернативных путей развития. Выполненные Флойдомпрогнозы тенденций изменения различных показателей технико-экономической эффективности космической техники оказались достаточно достоверными и точными. Основная идея метода состоит в расчете вероятности улучшения показателя эффективности системы в зависимости от затрачиваемых усилий ученых и специали- стов.
Теоремы формулируются следующим образом.
1. Нелинейная система устойчива в «малом», то есть при малых начальных отклонениях, если отрицательны все вещественные части корней характеристического уравнения системы, составленного для ее линейного приближения.
2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы одна вещественная часть корня характеристического уравнения ее линейного приближения положительна.
При наличии чисто мнимых корней указанного уравнения вопрос об устойчивости системы требует в каждом случае дополнительного исследования.
БИЛЕТ№17
Из условий однородности ПФ согласно теореме Эйлера имеем:
где 
– предельная производительность факторов производства. Выразим эти показатели через приведенные характеристики 
:
(2.42)
Выведем формулу для эластичности замещения:
(2.43)
Это общее дифференциальное уравнение для определения ПФ.