Метод Гаусса
Данный метод является универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений, так как с помощью него можно найти решения как определенных, так и неопределенных систем.
Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для этого используются элементарные преобразования матриц:
- умножение (деление) всех элементов какой-либо строки расширенной матрицы системы на постоянное число, не равное нулю,
- сложение (вычитание) каких-либо двух строк расширенной матрицы системы,
- перестановка строк расширенной матрицы системы.
При этом расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду, после чего вычисляются по очереди значения неизвестных системы.
Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
4.
Сущность метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Сначала из первого уравнения выражаем 
и подставляем во все остальные уравнения. После этого из полученного второго уравнения выражаем 
и подставляем во все следующие уравнения и так далее.
Все преобразования такого рода удобно выполнять, воспользовавшись так называемой расширенной матрицей системы:
.
Матрица, расположенная слева от вертикальной черты, называется основной, а вся матрица расширенной (здесь справа от черты стоят элементы правой части системы). Элементарные преобразования уравнений системы равносильны эквивалентным преобразованиями строк расширенной матрицы системы:
1. Можно поменять местами любые две строки матрицы 
.
2. Любую строку матрицы можно умножить на любое отличное от нуля число.
3. Любую сроку матрицы можно прибавить к любой другой строке.
Чаще всего преобразования 2 и 3 заменяют следующим:
Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) при использовании расширенной матрицы системы сводится к получению нулей ниже главной диагонали данной матрицы с помощью эквивалентных преобразований, чаще всего с помощью преобразования 4.
Если в результате элементарных преобразований в расширенной матрице системы, до черты (т.е. в основной матрице) получается матрица треугольного вида, т.е. все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а диагональные элементы все ненулевые:
,
то рассматриваемая система совместная и определённая, т.е. имеет единственное решение.
Если после преобразований, в какой - либо строке матрицы получили до черты все нулевые элементы, а элемент, стоящий в той же строке после черты - ненулевой, например
где 
, то рассматриваемая система несовместна, т.е. не имеет решений.
Если же после преобразования расширенной матрицы, после получения нулей ниже главной диагонали в нижней строке основной матрицы осталось больше одного ненулевого элемента, т.е. основная матрица имеет вид трапеции, например
,
то система имеет бесконечно много решений.
Пример 9.
.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
. Умножим элементы первой строки сначала на -2 и сложим с соответствующими элементами второй строки, а затем на –5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки. 
~ 
. Теперь умножим элементы второй строки на 3 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.
~ 
. Получили матрицу ступенчатого вида. Теперь составим систему уравнений, соответствующую этой матрице.
. Из третьего уравнения находим 
, подставляем во второе уравнение и находим 
, подставляем в первое уравнение и находим 
.
Ответ: 
.
«Ступеньки» можно получить и в другом направлении.
Пример 10.
.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
~ 
~
~ 
~ 
~
 |
~ 
. Получили матрицу ступенчатого вида.
Теперь составим систему уравнений, соответствующую этой матрице.
. Из первого уравнения находим 
,, подставляем во второе уравнение и находим 
, подставляем в третье уравнение и находим 
, подставляем в четвертое уравнение и находим 
.
Ответ: 
.
Пример 11.
.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
~ 
.
Поменяем местами первую и третью строки матрицы.
~ 
~ 
. Получили ступенчатую матрицу.
Ей соответствует система 
. Так как первое равенство системы ложное, то данная система не имеет решений, то есть является несовместной.
Ответ: нет решений.
Пример 12.
. Особенностью данной системы является то, что в ней уравнений больше, чем неизвестных.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
~ 
~
~ 
~ 
.
Первые три строки соответствуют одному и тому же уравнению системы, поэтому из них можно оставить только одну.
. Эта матрица уже имеет ступенчатый вид, причем строк в ней меньше, чем столбцов. Следовательно, система, соответствующая полученной матрице, является неопределенной, то есть имеет бесконечное множество решений.
, 
– свободная переменная, 
, 
, 
– базисные переменные. Выразим базисные переменные через свободные.
Из первого уравнения выражаем 
, подставляем во второе уравнение и выражаем 
= 
, подставляем в третье уравнение и находим 
. Так как – свободная переменная, то она может принимать любое значение, пусть =с, тогда 
, = 
, 
Общее решение: (с; 
; 
), где с – любое действительное число.
Для проверки можно найти какое-либо частное решение, придав конкретное значение независимой переменной.
Пусть с=6, тогда частное решение можно вычислить, подставив это значение в общее решение.
(6; 
; 
)= 
– частное решение. Подставим его во все уравнения первоначальной системы.
.
Получившиеся числовые равенства свидетельствуют о том, что система решена верно.
Ответ: (с; ; 
), где с – любое действительное число.
Пример 13.
. Особенность данной системы в том, что в ней неизвестных больше, чем уравнений. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
. Для удобства поменяем местами первую и вторую строки матрицы.
~ 
~
~ 
. Из двух одинаковых последних строк оставляем одну, а другую отбрасываем.
. Получили ступенчатую матрицу, в которой строк меньше, чем неизвестных. Следовательно, система, соответствующая этой матрице, является неопределенной, то есть имеет бесконечное множество решений.
. Пусть , , – базисные переменные, а и 
- свободные переменные. Выразим базисные переменные через свободные.
Из третьего уравнения выражаем 
, подставляем во второе уравнение и выражаем 
= 
, подставляем в первое уравнение и находим 
. Так как и - свободные переменные, то они могут принимать любые значения, пусть 
, а 
, тогда 
, 
, 
Общее решение: (; 
; 
), где 
и – любые действительные числа.
Для проверки можно найти какое-либо частное решение, придав конкретное значение независимым переменным.
Пусть =-1,а =1, тогда частное решение можно вычислить, подставив эти значения в общее решение.
(
; 
; 
)= 
– частное решение. Подставим его во все уравнения первоначально заданной системы.
.
Получившиеся числовые равенства свидетельствуют о том, что система решена верно.
Ответ: (
; ; ), где и – любые действительные числа.
Решая методом Гаусса однородные системы линейных алгебраических уравнений (системы, в которых свободные члены всех уравнений равны 0), которые всегда совместны, можно получить единственное – тривиальное решение (когда все значения неизвестных системы равны 0), если эта система определенная. Но можно получить и общее решение, если эта система неопределенная, выражающее закономерность, по которой получается бесконечное множество решений такой системы. В однородных неопределенных системах общее решение можно выразить в виде линейной комбинации частных решений, образующих фундаментальную систему линейно-независимых решений.
Пример 14.
.
Решая методом Гаусса однородные системы, можно преобразовывать только основную матрицу, так как столбец свободных членов всегда будет нулевой.
~ 
, если разделить все элементы четвертой строки на 2, то мы получим в матрице три одинаковых строки, из которых можно оставить одну, а остальные отбросить.
. Получили ступенчатую матрицу, которой соответствует следующая однородная система:
. Пусть и - базисные переменные, а , и - свободные переменные. Из второго уравнения системы выражаем = 
, подставляем в первое и выражаем = 
= 
.
Так как у нас три свободных переменных, то фундаментальная система решений будет состоять из трех линейно независимых ненулевых частных решений.
Пусть =1, =0, =0, тогда =3, =5. 
.
Пусть =0, =1, =0, тогда =2, =3. 
.
Пусть =0, =0, =1, тогда =2, =1. 
.
Решения 
, 
и 
образуют фундаментальную систему решений. Общее решение есть линейная комбинация решений , и .
Если 
- общее решение данной системы, то = 
, где 
- любые действительные числа.
= 
, где - любые действительные числа.
Сделаем проверку.
Пусть 
=2, 
=-3, 
=4, тогда:
= 
. Подставим полученные значения неизвестных в первоначально заданную систему.
. Система решена верно.
Ответ: = , где 
.
Пример 15.
.
~ 
~ 
~ 
.
Однородная система, соответствующая полученной ступенчатой матрице, будет иметь столько же уравнений, сколько неизвестных. Такая система является определенной, следовательно, единственное ее решение имеет вид: 
.
Рассмотрим пример решения системы методом Гаусса. Пусть дана система:
Составим расширенную матрицу этой системы:
˜
Поменяем местами первую и третью строки матрицы:
˜ 
˜
С помощью первой строки полученной матрицы получим нули в первом столбце. Для этого первую строку умножим на (-1) и прибавим к второй строке, и её же умножим на (-2) и прибавим к третьей строке, Получим новую матрицу
˜ 
˜
Умножим третью строку на (-3) и прибавим ко второй строке и эту же строку прибавим к первой строке, получим
˜ 
˜
Вторую строку умножим на (2) и прибавим к третьей
˜ 
˜ 
˜
Мы разделили последнюю строку на 47. После это третью строку умножим на (-29) и прибавим ко второй строке и ту же строку умножим на (6) и прибавим к первой строке:
˜ 
.
Слева от черты получили единичную матрицу, тогда после черты получено решение данной системы. Таким образом, 
Сделаем проверку:
Получили тождественные равенства. Следовательно, в самом деле, получено решение системы.
Рассмотрим ещё один пример:
Расширенная матрица этой системы имеет вид:
˜
Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй и третьей строке, эту же строку умножим на (-1) и прибавим к четвёртой строке, получим:
˜ 
˜
Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к первой строке и вторую строку просто прибавим к третьей строке:
˜ 
˜
Четвёртую строку разделим на (-2) и поменяем с третьей строкой:
˜ 
˜
После этого получим нули в третьем столбце, для чего третью строку умножим на (-4) и прибавим к первой строке; умножим на (-1) и прибавим к второй строке; умножим на (6) и прибавим к третьей строке. Получим:
˜ 
˜ 
˜
Мы разделили последнюю строку на (-7). После этого можем получить нули в четвёртом столбце. Для этого последнюю строку прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и прибавим к второй строке и, умножив на (-5), прибавим к первой строке. В результате получается матрица:
˜ 
.
Слева, до черты, получили единичную матрицу. Тогда после черты находится решение, т.е.
Подставив эти значения переменных в равенства системы, получим тождественные равенства.
Прежде чем перейти к рассмотрению систем произвольной размерности, вернёмся снова к понятию ранга матрицы, введённому в § 3. Приведём утверждение, доказывать которое мы не будем.
Утверждение. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице, полученной в результате эквивалентных преобразований после получения нулей ниже главной диагонали матрицы.
Примеры. Найти ранги следующих матриц:
1. 
˜
Получим нули в первом столбце. Для этого умножим первую строку на (-1) и прибавим к второй строке; умножим ту же строку на (-5) и прибавим к третьей строке и, аналогично, умножим её на (-7) и прибавим к четвёртой строке. Получим:
˜ 
˜
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим соответственно к третьей и четвёртой
˜ 
˜ 
.
Следовательно ранг этой матрицы 
.
2. 
˜
С помощью первой строки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-2) и прибавим к второй строке, умножим на (-3) и прибавим к третьей и пятой строке, умно- жим на (-1) и прибавим к четвёртой строке. В результате получим:
˜ 
˜
Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей, четвёртую строку умножим на (-4) и прибавим к пятой:
˜ 
˜
Пятую строку умножим на (5) и прибавим к второй и умножим на (2) и прибавим к четвёртой:
˜ 
˜
четвёртую строку умножим на (-3) и прибавим к второй:
˜ 
˜ 
.
Ранг этой матрицы тоже равен .
При исследовании систем важную ролю играет следующая теорема:
ТЕОРЕМА (Кронекера – Капелли). Ранг основной матрицы системы не превосходит ранга расширенной матрицы, т.е.
, причём, если 
, то система совместна, а если 
, то система несовместна (не имеет решений).
Рассмотрим пример.
Тогда 
˜
Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй и третьей строке; после этого поменяем местами первую и вторую строки:
| | ||
˜ 
˜ 
˜
прибавим ко второй, а после этого прибавим к третьей:
˜ 
˜
После этого прибавим вторую строку к третьей и получим матрицу:
˜ 
.
В результате получили матрицу, у которой 
, следовательно, система несовместна. Решений нет.
Если , т. е, если система совместна, то в случае, если 
- число неизвестных, система имеет единственное решение. Если же 
, то система имеет бесконечно много решений, при этом число свободных переменных (т.е. переменных, через которые можно выразить все остальные и которые могут принимать любые значения из множества действительных чисел) 
, а число базисных переменных (т.е. таких переменных, которые выражаем через свободные) равно 
.
Рассмотрим примеры: решить системы уравнений методом Гаусса; найти общие и частные решения; сделать проверку.
1. 
Запишем расширенную матрицу данной системы:
˜
Уменьшим элементы первого столбца с помощью четвёртой строки. Для этого умножим её на (-1) и прибавим к первой и второй строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке и, наконец, умножим на (-3) и прибавим к пятой строке.
˜ 
˜
Теперь получим нули в первом столбце. Умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей и пятой строке; умножим её же на (-2) и прибавим к четвёртой строке. Получим:
˜ 
˜
С помощью второй строки получим нули во втором столбце. Для этого умножим её на (7) и прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и прибавим к четвёртой строке; умножим на (5) и прибавим к пятой строке:
˜ 
˜
Четвёртую строку умножим на (2) и прибавим к третьей строке и её же просто прибавим к пятой строке:
˜ 
.
Видим, что в данном случае 
, поэтому система совместна, но так как переменных 4, а ранг матрицы равен 3, то одна переменная свободная, а три базисных. За – пишем полученную систему:
Выберем свободную переменную 
, тогда из третьего уравнения 
; из второго уравнения
из первого уравнения
Таким образом, общее решение системы имеет вид:
,
т.е. при любом значении 
мы будем получать решения системы. Это общее решение. Задавая какие – либо значения постоянной , будем получать частные решения. Например, при 
получаем частное решение
Сделаем проверку:
Получили тождественные равенства. Аналогично можно получать другие частные решения и делать проверку. Например, при 
: 
. Подставив эти значения в уравнения системы, снова получим тождественные равенства. Таким же образом, при разных значениях можем получить любое частное решение системы.
Ещё одна система:
2. 
Её расширенная матрица имеет вид:
˜
Поменяем местами первую и вторую строки:
˜ 
˜
С помощью первой строки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-3) и прибавим к второй строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке; умножим на
(-2) и прибавим к четвёртой строке, получим:
˜ 
˜
Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой, получим
˜ 
.
Видим, что ранг полученной матрицы равен
.
Поэтому система совместна. Число базисных переменных равно рангу матрицы, т.е. две базисные переменные Число свободных переменных равно разнице «число переменных» = 5 минус «ранг матрицы» = 2, т. е 3 свободные переменные.
Запишем полученную систему:
В качестве базисных переменных, если есть возможность, удобно выбрать переменные с единичными коэффициентами, чтобы избежать вычислений с дробными выражениями. Например, в данном примере, в качестве базисных можем выбрать 
, а остальные считать свободными, т.е. положим:
Тогда из второго уравнения:
,
а из первого уравнения:
.
Следовательно, общее решение имеет вид:
Запишем частное решение и сделаем проверку. Например, при 
получим:
Сделаем проверку:
Получили тождественное равенство. Аналогичным образом можно получить любое другое частное решение, например, при 
получим:
Подставив эти значения переменных в уравнения системы, также получим верные равенства.
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Отдельно следует выделить множество однородных уравнений, т.е. уравнений вида:
Такие системы всегда совместны, так как всегда имеется тривиальное (т.е. нулевое решение 
).
Нулевое решение будет единственным, если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных, т.е. в случае 
. Если же , то система имеет бесконечно много решений.
Рассмотрим примеры: найти фундаментальные системы решений однородных систем линейных уравнений
1. 
Для однородных систем нет смысла писать расширенную матрицу, так как элементарные преобразования не меняют нули, стоящие в правых частях системы уравнений. Поэтому про -изводим преобразования основной матрицы системы: