БИЛИНЕЙНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
4.1. Линейная функция
Рассмотрим простейшие числовые функции, аргументами которых являются вектора. Простейшей числовой функцией в пространстве L является линейная функция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция 
называется линейной, если 
ставит в соответствие число и при этом выполнены условия:
.
.
Выберем в n -мерном линейном пространстве 
базис 
. Так как каждый вектор 
можно представить в виде:
,
то в силу свойства 
линейной функции имеем:
.
Итак, в линейном n -мерном пространстве 
с заданным базисом линейная функция может быть представлена в виде
, (1)
где 
постоянные, зависящие лишь от выбора базиса, а 
- координаты вектора 
в этом базисе.
Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим.
Пусть и 
- два базиса в . Предположим, что векторы 
выражаются через векторы базиса следующим образом:
,
В базисе линейная функция определяется выражением
, (2)
а в базисе - выражением
. (3)
Так как
то
Следовательно, коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так же, как векторы базиса этого пространства.
4.2. Билинейные формы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Выражение 
называется билинейной функцией (билинейной формой) от векторов 
и 
, если:
. При фиксированном 
есть линейная функция от , то есть:
а) 
,
б) 
.
. При фиксированном есть линейная функция от , то есть:
а) 
,
б) 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Билинейная функция (форма) называется симметричной, если для всех векторов и имеет место равенство:
(4)
В частности, из определения скалярного произведения 
в евклидовом пространстве Е следует, что это произведение является симметричной билинейной формой.
4.3. Матрицы билинейной формы
Выберем в n -мерном пространстве какой-либо базис и выразим билинейную форму через коэффициенты 
и 
векторов и в этом базисе. Имеем:
В силу свойств а) и б) пункта билинейной формы, имеем:
Или, короче:
.
Обозначим постоянные 
через 
. Тогда в заданном базисе всякая билинейная форма в n -мерном пространстве может быть записана в виде:
. (5)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Матрицу 
, составленную из коэффициентов многочлена (5), называют матрицей билинейной формы в базисе
Таким образом, в каждом базисе пространства билинейная форма определяется своей матрицей:
.
4.4. Преобразование матрицы билинейной формы
При изменении базиса
Пусть даны в n -мерном линейном пространстве два базиса: и 
. Причем, векторы второго базиса выражаются через векторы базиса формулами:
Матрицу
назовем матрицей перехода от базиса к базису .
Пусть 
есть матрица билинейной формы в базисе , а 
матрица той же билинейной формы в базисе . Наша задача состоит в том, чтобы по матрице 
найти матрицу 
.
По определению 
, то есть 
- значение билинейной формы при 
.
Для того, чтобы найти это значение, то есть , воспользуемся формулой (5), подставив в нее вместо 
и 
координаты векторов 
и 
в базисе , то есть числа 
и 
. Получим:
. (6)
Это и есть искомая формула.
Запишем ее в матричной форме. Для этого положим 
. Таким образом, 
является элементами матрицы 
, транспонированной к матрице С. С учетом этого выражение (6) можно записать так:
или
.
Итак, если А и В суть матрицы билинейной формы соответственно в базисах и ., то преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому будет иметь вид:
где С - матрица перехода от базиса к базису ., а - транспонированная матрица.
4.5. Квадратичные формы
Пусть - симметричная билинейная форма.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция 
, которая получается из билинейной формы , если положить в ней = , называется квадратичнойформой.
Всякая квадратичная форма , в базисе евклидового пространства Еn выражается следующей формулой:
, (7)
где симметричная матрица 
квадратичной формы и 
.
В некотором базисе выражение (7) квадратичной формы может не содержать произведений 
, то есть
, (8)
Выражение (8) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если 
, то получаем нормальный видквадратичной формы .
Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический вид.
4.6. Методы приведения квадратичной формы
К каноническому виду
а) Метод Лагранжа выделения полных квадратов.
Пусть квадратичная форма 
имеет в базисе вид (7). Для приведения формы к сумме квадратов методом Лагранжа рассмотрим случай квадратичной формы, у которой все коэффициенты 
(при квадратах 
), 
равны нулю и в то же время эта квадратичная форма не равна тождественно нулю, то есть в ней есть отличное от нуля хотя бы одной произведение, например, 
.
Выполним преобразование базиса, при котором коэффициенты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:
.
Тогда:
.
Таким образом, всегда найдется такой базис, в котором в записи (7) хотя бы один коэффициент при квадрате 
.отличен от нуля.
В дальнейшем будем считать, что 
. (Если 
, то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе, занумеровав векторы , что также является некоторым преобразованием базиса).
Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащей 
, то есть
.
Дополним эту сумму до полного квадрата:
,
где 
есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от . Если теперь сделать замену
то квадратичная форма в новом базисе примет вид
.
В полученной форме выделено слагаемое 
, а оставшаяся часть А, является квадратичной формой в 
.
Далее эти рассуждения повторяются для исходной квадратичной формы и т.д. Конечным результатом является то, что она приводится к нормальной форме.
ПРИМЕР 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
.
Первое преобразование:
.
Тогда получим:
.
Второе преобразование:
.
Получим новое выражение для квадратичной формы:
.
Третье преобразование:
.
форма примет канонический вид:
.
При этом
.
б) Метод собственных векторов.
Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
. Так как матрица 
симметрична, то она может быть представлена
в виде:
где – D диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А, а U - ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные вектора матрицы А. Как ранее отмечалось, что эти вектора в случае различных собственных чисел матрицы А являются линейно независимыми и образуют базис в .
Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса , в котором матрицa А имеет диагональный вид, и, следовательно, квадратичная форма – искомый канонический вид.
Соответствующее преобразование координат определяется соотношением:
.
ПРИМЕР 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
,
заданную в евклидовом пространстве 
, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.
Матрица квадратичной формы имеет вид:
.
Определим собственные числа этой матрицы. Имеем:
.
Раскрывая определитель, находим корни характеристического многочлена, которые являются собственными числами матрицы А. Итак, собственные числа этой матрицы суть 
.
Соответствующие ортонормированные собственные векторы:
и, следовательно,
.
В базисе 
заданная квадратичная форма имеет вид:
,
а соответствующее преобразование координат:
.