Задача 1. Дана теорема: «Для того чтобы диагонали четырехугольника в точке пересечения делились пополам, достаточно, чтобы этот четырехугольник был параллелограммом».
1. Переформулируйте данную теорему, используя слова «следует», «любой», «необходимо».
2. Сформулируйте теорему, равносильную данной, в соответствии с законом контрапозиции.
Решение. Чтобы решить задачу, надо выделить условие и заключение данной теоремы. Для этого устанавливаем, к какому предложению в теореме относится слово «достаточно». Согласно определению оно и будет условием.
1. Условием теоремы является утверждение «четырехугольник – параллелограмм» (обозначим его через А). Утверждение «в четырехугольнике диагонали делятся пополам» является её заключением (обозначим его через В).
Используя принятые обозначения, можно представить теорему в виде: А 
В и прочитать так: «Из А следует В», «Любое А есть В», «В необходимо для А». В соответствии со сказанным получаем следующие формулировки данной теоремы:
· Из того, что четырехугольник – параллелограмм, следует, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
· Во всяком параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам.
· Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы диагонали этого четырехугольника в точке пересечения делились пополам.
2. Согласно закону контрапозиции теорема вида А В равносильна теореме ˉВˉ ˉАˉ. Таким образом, получаем следующую формулировку: «Если диагонали четырехугольника не делятся в точке пересечения пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом».
Задача 2. Вместо многоточия вставить термины «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»:
1. Для того чтобы число х являлось делителем числа 15,……., чтобы число х являлось делителем числа 5.
2. Для того чтобы гражданин России имел право голоса,…….., чтобы он достиг 18 лет.
Решение. Если истинно высказывание (
х)А(х) В(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х). Если истинно высказывание
( х)В(х) А(х), то А(х) называют необходимым условием для В(х). Если истинны оба высказывания, то А(х) называют необходимым и достаточным условием для В(х).
1. Введем обозначения: А(х): число х является делителем числа 5; В(х): число х является делителем числа 15. Рассмотрим высказывание
( х)А(х) В(х) – любой делитель числа 5 является делителем числа 15. Высказывание истинно, значит А(х) – достаточное условие для В(х). Обратная импликация ( х)В(х) А(х) – любой делитель числа 15 является делителем числа 5 – ложно, поэтому А(х) не будет необходимым условием для В(х).
Вывод: для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы число х являлось делителем числа 5.
2. Аналогично, пусть А(х): гражданин России х достиг 18 лет; В(х): гражданин России х имеет право голоса. Высказывание ( х)А(х) В(х) истинно, так как действительно, что любой гражданин России, достигший 18 лет, имеет право голоса. Поэтому А(х) – достаточное условие для В(х). Истинна и обратная импликация ( х)В(х) А(х). Если гражданин России имеет право голоса, то он достиг 18 лет. А(х) – необходимое условие для В(х).
Вывод: для того чтобы гражданин России имел право голоса, необходимо и достаточно, чтобы он достиг 18 лет.