Задания для решения на практическом занятии

Тема 17

Задания для решения на практическом занятии

1. а) за исключением прямых и ; б) за исключением точки ; в) полуплоскость ; г) полуплоскость ; д) полуплоскость ; е) за исключением гиперболы . 2. а) семейство гипербол , ; б) семейство прямых , ; в) семейство прямых , ; г) семейство парабол , ; д) семейство гипербол , ; е) семейство окружностей , . 3. а) , ; б) , ; в) , ; г) , ; д) , ; е) , ; ж) , ; з) , ; и) , ; к) , . 4. а) ; б) ; в) ; г) . 5. а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , ; ж) , , ; з) , , ; и) , , ; к) , , ; л) , , . 6. , . 7. , . 8. .

Задания для самостоятельной работы

1. а) за исключением прямой ; б) ; в) за исключением внутренности круга ; г) за исключением круга . 2. а) семейство прямых , ; б) семейство прямых , ; в) семейство прямых , ; г) семейство парабол , . 3. а) , ; б) , ; в) , ; г) , ; д) , ; ж) , ; з) , . 4. а) , б) ; в) .

Тема 18

Задания для решения на практическом занятии

1. а) , локальный минимум, ; , локальный максимум, ; б) ,локальный максимум, ; в) ,локальный максимум, ; г) , локальный минимум, ; д) , локальный минимум, ; е) ,локальный минимум, ; ж) , локальный минимум, ; з) экстремумов нет. 2. а) , ; б) , ; в) , . 3. а) условный максимум, условный минимум; б) точка условного экстремума ; в) точка условного минимума ; г) точки условного экстремума , , , . 4. ден. ед. при , . 5. как . 6. ; ; .

Задания для самостоятельной работы

1. а) , локальный максимум (функцию следует представить в виде ; б) ,локальный максимум; в) ,локальный минимум; г) , локальный максимум; д) стационарных точек нет; е) экстремумов нет. 2. а) , ; б) , ; в) , . 3. а) условный минимум; б) условный минимум; условный максимум; в) условный минимум. 4. ден. ед. при , . 5. . 6. Решение. Заметим, что функция полезности представляет собой выпуклый вниз эллиптический параболоид с вершиной в точке . Множеством ее линий уровня (кривых безразличия) является семейство эллипсов () с центром в точке (см. рис.). Задача оптимизации функции полезности (см. п. 18.4.5) сводится к отысканию минимума функции при ограничениях , , . Так как , , , то допустимое множество представляет собой треугольник, ограниченный прямыми , , , (см. рис.). В теории потребительского спроса утверждается, что оптимальное значение функции полезности достигается в том случае, когда потребитель тратит на приобретение товаров и весь свой доход . Следовательно, отыскание экстремума (минимума) функции полезности при ограничениях , , (на выпуклом множестве) сводится к отысканию экстремума (минимума) функции при условии (на границе выпуклого множества). Функция Лагранжа: , ее частные производные: , , , стационарная точка: . Таким образом, получили значения спроса, минимизирующие функцию полезности: , (соответствующая линия уровня касается линии ). Оптимальная полезность . Для определения эффектов замены составим функцию Лагранжа в общем виде: . Найдем ее частные производные: , , . Из системы уравнений выразим и , получим , . Согласно уравнениям Слуцкого (см. п. 17.6) эффекты замены можно рассчитать по формулам , (). Найдем частные производные , () и их значения при , , : , , , , , . Подставим их и , в уравнения Слуцкого, получим значения эффектов замены: , , , . Заметим, что , а , следовательно, товары и взаимозаменямые, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации.

Тема 19

Задания для решения на практическом занятии

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) . 2. а) общее решение , частное решение ; б) общее решение , частное решение ; в) общее решение , частное решение ; г) решение: разделяя переменные, получим ; вычислим каждый из интегралов по отдельности: , , тогда или общий интеграл (общее решение ); подставляя в общий интеграл начальное условие, получим или ; подставим в общее решение, тогда искомое частное решение ; д) общее решение , частное решение ; е) общее решение , частное решение ; ж) общий интеграл , частный интеграл .