Пример 1. Решить квадратное уравнение x 2 − 4 x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму корней x 1 и x 2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x 1 и x 2 и приравняем его к свободному члену:
В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4
Значение x 1 совпадает с x 2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле 
Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x 1 и x 2 совпадают.
Пример 2. Решить уравнение x 2 + 3 x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Теперь подберём значения x 1 и x 2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней x 1 + x 2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.
Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.
Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x 1 × x 2 = 2.
Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x 1 × x 2 = 2, но не будет выполняться равенство x 1 + x 2 = −3.
Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.
Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.
Итак, корнями являются числа −1 и −2
Пример 3. Решить уравнение x 2 + 16 x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.
Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.
Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x 2 + 16 x + 15 = 0 являются числа −1 и −15
Пример 4. Решить уравнение x 2 − 10 x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10
Значит корнями уравнения x 2 − 10 x − 39 = 0 являются числа −3 и 13
