Тема: методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики.
Задания:
1)изучить требования стандарта и программы (для конкретного учебника) для общеобразовательного уровня и для углублённого изучения математики;
2) дать характеристику содержания школьных учебников по теме «Действительные числа» общеобразовательного уровня и углублённого;
3) дать характеристику практической части темы; привести решения наиболее трудных заданий, выделив при этом трудные элементы и предложите задания способствующие снятию затруднений;
4)разработайте методику изучения:
· Введение понятия корня из неотрицательного числа;
· Введение понятия иррационального числа;
· Множества действительных чисел;
· Свойств квадратных корней;
· Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения корня;
· Функции и ее свойства и график;(я с Леней взяла)
· Решение наиболее трудных задач по теме.
Ответы:
Методика введения действительных чисел
Изложение вопроса о действительных числах начинается обычно с задачи об извлечении корня.
Однако опрос об извлечении корня не является главным.
В процессе введения понятия действительного числа, главной задачей является дополнение рационального числа до непрерывности.
При этом решается задача об извлечение корня из положительного числа.
При введении понятия действительного числа в связи с его введением возрастает много важных методических вопросов, которые в различных пособиях решаются по-разному.
1.Каким должно быть понятие действительного числа сложенного у учащихся в результате изучения темы.
2.Нужно ли определение, если нужно, каким должно быть определение действительного числа.
3. из каких конкретных задач должен возникать вопрос о введении действительного числа и др.
В зависимости от того как будут решены эти вопросы попутно будут решаться и другие достаточно важные
Например: ввести ли вначале понятие действительного числа, а затем выделить как частный случай иррациональное число или в начале ввести понятие иррационального числа, а затем совместимость рациональных и иррациональных чисел назовем как систему ДЧ.
При выборе метода введения следует учесть научность, доступность учащимися и усвояемость данного понятия.
Чтобы ответить на эти вопросы, надо обратить внимание на происхождение понятия ДЧ.
Сущность понятия ДЧ заключается в том, что система ДЧ, есть такая числовая система, которая способна выразить непрерывные изменения величин.
Наиболее простым примером непрерывности процесса является движение точки по прямой и в частности изменения расстояния движущийся точки от некоторой к начальной.
Поэтому естественно понятие о ДЧ рассматривают как понятие о такой системе чисел, которая по своей структуре такова же, как совокупность точки прямой.
Из сказанного следует, что нау учащихся понятие ДЧ и понятие непрерывной величины - это 2 стороны одного процесса.
Мы будем рассматривать понятие ДЧ из задачи измерения отрезка.
Понятие ДЧ вводится в 8 классе в теме корня. В начале проводится повторения о рациональных числах - это понятие приводится в систему.
В формировании понятия ДЧ главным является понятие бесконечной десятичной дроби, которую впервые вводится в 8 классе.
До введения понятия ДЧ иррационального числа необходимо добиться у учащихся следующих положений:
1.каждое дробное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
2,0 2,5(0)
таким образом, каждое иррациональное может быть представлено в виде бесконечной дроби и наоборот каждое бесконечное периодическое десятичная дробь представление некоторое иррациональное число.
2.вводится понятие арифметического квадратного корня
Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число квадрат которого равен а.
Это определение конъюнктивной структуры, объект подходит под понятие лишь при условии наличии обоих требовании и не подходит во всех остальных случаях.
Путем рас-я достаточного количества рас-я примеров необходимо подготовить учащихся к выводу, что выражение не имеет смысла при отрицательных значениях а.
Возникает вопрос- определено ли выражение для всех неотрицательных знаменателей а.
Ответ на этот вопрос дается путем решения квадратного уравнения.
Внимание учащихся обращается на тот факт, что рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует. На данной ступени обучения считается возможным лишь обнаружение индуктивное этого факта.
Чаще всего при введении иррационального числа в школе исходят из следующих сообщений: возникает вопрос, каждой ли точки прямой соответствует единственное рациональное число, ответ оказывается отрицанием, регистрируется следующим примером.
Как определить его значение. Доказательством что точка М никакому рациональному числу. Предположим обратное, что
2- четное, значит - четное
()2= 2
2= 2=» n - число четное. Наше предположение, что дробь n/m несократимая, неверно, значит - не является рациональным числом, и его стали называть иррациональным числом.
То получили, что это число нельзя представить в виде отношений целое / к натуральному.
Определение: число которое нельзя представить в виде дроби, где называют иррациональным числом.
Выше было выявлено, что всякое рациональное число может быть представлено в виде периодичной действительной.
Учащимся сообщается, что кроме существует множество иррациональных чисел, которые представляются в виде не периодичной дроби и дается определение.
Определение: совокупность иррациональных и рациональных чисел дает множество ДЧ.
4) Методика введения отрицательного числа.
Прежде чем дать понятие об отрицательном числе необходимо показать на конкретных примерах, что известно уч-ся чисел недостаточно для характеристики положения точки на прямой к началу отсчета.
На достаточном количестве примеров надо показать неудобства понятия типа вправо или влево, вверх или вниз начертить числовую ось. Необходимо отложить начало отсчета и чтоб для определенности таких шкал, которые находятся вправо со знаком плюс, влево с противоположным знаком- минус.
В учебнике рассматривается достаточное число примеров, показывающих о целесообразности использования определенных знаков для обозначения направления противоположности движения. Для понятия введения отрицательного числа необходимо пользоваться демонстративным термометром и другими пособиями.
Знакомству с противоположными числами способствует изучение центра симметрии.
Понятие о противоположных числах связывается симметричными точками. В тоже время введение этого понятия основывается с геометрическим истолкованием положительных и отрицательных чисел.
В пункте противоположных чисел вводится определение целых чисел. Натуральные числа, противоположные числа, нуль- называют целыми числами. Модуль числа- понятие модуль числа дает от начала отсчета до точки соответствующему числу. Следует обратить внимание учащихся как мотивировать определение модуля числа.
В учебниках понятие модуля числа вводится путем рассмотрения примеров, поясняют как находить модуль числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным ибо модуль числа это расстояние- обращается внимание, что для положительного числа модуль равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
Сравнение чисел.
Соотношения равенства и неравенства между положительными и отрицательными числами вводится по определению, они не могут быть получены путем доказательства, причем очень важно показать учащимся целесообразность определения на конкретных примерах и геометрических образах.
Учащиеся должны на столько прочно усвоить расположение чисел на числовой прямой, чтобы это могло служить основным средством сравнения чисел. Иногда возникают трудности в сравнении отрицательных чисел, чтобы преодолеть их, необходимо рассмотреть их на числовой прямой.
Действия над отрицательными и положительными числами.
Основное, что надо учитывать учителю при рассмотрении этого материала - это действия сложения и вычитания над положительными и отрицательными числами вводится по определению, причем формулировки этих определений должны включать в себя ранее известные учащимся понятия об этих действиях. Вычитание и деление определяются как обратные сложению и умножению.
В учебнике отдельно дается определение действия сложения чисел с разными знаками, формулировки этих правил содержат указание на следующие действия. В учебнике большое время уделяется к тому как подойти к действию сложению. Основное внимание уделяется к рассмотрению конкретных задач, обращаясь при этом к координатной прямой.
Каким бы путем не вводилось правило сложение учащимся должно быть ясно, что ничто не доказывается при рассмотрении следующих примеров. Примеры признаны лишь иллюстрировать целесообразность правил. Учащиеся должны овладеть навыками выполнения сложения 2-х отрицательных чисел с разными знаками, противоположных чисел, нуля с положительными и отрицательными числами.
Рассматривая свойства действий важно показать учащимся, что при установленных определениях действий сложения и вычитания чисел сохраняется все те законы которые имели место для положительных чисел.
Учащимся дается формулировка переместительного и сочетательного законов запись каждого из них с помощью букв.
Вычитание отрицательных чисел определяются как действие обратное сложению. Вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.
Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наибольшую трудность, трудность заключается в том, что учащейся испытывают потребность в доказательстве правил знаков при умножение, а учитель должен убедить учащихся, что такого доказательства нельзя искать или требовать, таким образом действие умножения вводится по определению, которое можно ввести по разному и по разному истолковать правило знаков. Сложения и умножения имеют много общего, однако трактовка правил умножения вызывает больше трудности.
Рассмотрим объяснения правил умножения является рассмотрение конкретных задач, решение которых требует вычисление по формуле а в, при различных а и в. недостатком этого метода является, то что они доказывают правило умножения.
Многие авторы придерживаются пути, когда в начале дается формулировка правил умножения, затем оно поясняется на примерах, задачах. Учащийся убеждаются на конкретном математическом в практичной целесообразности введенного определения.обычно в учебниках формулировки правил умножения чисел с разными знаками и правил умножения натуральных чисел представляет расписания рядов примеров.
При этом используется положение о том, что если изменить знак одного из множителей, то изменится знак произведения.
Правило формулируется удобным для использования вида. Необходимо обратить внимание учащихся на условия равенство произведения нулю.
Деление положительных, отрицательных чисел рассматривается как действие обратное умножению. Учащемуся сообщается, что деление положительных и отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Важно обратить внимание на законы вычисления и умножения выражений.
Так же как и в случая сложения, правило сложения и умножения натуральных чисел может быть выведены из умножения чисел. Считая, что правило знаков для суммы известно.
В 6 классе в теме рациональные числа вводятся памяти отрицательные числа, которое может быть записано в виде дроби. Расписывается множество рациональных чисел можно сбить внимание, что когда выполнимо:, +, *, - на число не равное нулю.
При вычитании или выполни действий учащийся получают числа того же множества и это множество обладает свойством замкнутости по отношению к действиям первой и второй степени. Для сложения справедливы переместительный и сочетательный законы имеется нейтральный элемент, имеется противоположный элемент.
Для умножения справедливы первый распределительный и сочетательный закон, имеется нейтральный элемент 1, противоположный элемент.