Цель работы
Цель работы – на основе статистического анализа контролируемого параметра партии деталей оценить точность технологической операции технологического процесса токарной обработки.
Краткие теоретические сведения
Показатели и методика статистического исследования точности технологических операций
Точность технологических процессов изготовления определяется точностью обработки деталей на отдельных технологических операциях. Достижимая точность изготовления деталей (степень соответствия чертежам и заданным техническим условиям) зависит от целого ряда производственных погрешностей. Оценка точности технологических процессов проводится для выявления факторов, приводящих к появлению дефектов изготовления или оказывающих решающее влияние на величину случайных и систематических погрешностей обработки, для определения фактических точностных характеристик технологических операций обусловленных состоянием оборудования, качеством инструмента, заготовок и другими особенностями конкретных технологических операций в определенный период времени.
Оценка точности должна проводиться по параметрам детали, оказывающим решающее влияние на функциональные показатели изделия в целом и лимитирующим нормальный ход технологических процессов.
Основными характеристиками точности технологических операций являются:
- величины случайных и систематических погрешностей контролируемых параметров;
- функции изменения случайных и систематических погрешностей;
- зависимости между погрешностями изготовления контролируемых параметров.
Оценка точности технологических процессов должна включать следующие этапы:
- измерение контролируемых параметров деталей, заполнение протоколов измерений;
- статистическую обработку результатов измерений;
- анализ результатов статистической обработки.
Наиболее трудоемким является второй этап этой работы. Статистический анализ точности осуществляется с помощью законов распределения производственных погрешностей исследуемых технологических операций и, в свою очередь, распадается на несколько этапов.
На первом этапе по экспериментальным данным, полученным при проведении исследуемой технологической операции, строится эмпирическая (опытная) кривая плотности вероятности распределения производственных погрешностей и определяются числовые характеристики этого распределения.
На втором этапе для установления вида закона распределения построенной эмпирической кривой плотности вероятности по качественным признакам подбирают подходящее теоретическое распределение. Замена полученной эмпирической кривой теоретически позволяет перенести на опытное распределение все свойства хорошо изученных теоретических законов и облегчить работу по анализу точности.
На третьем этапе проводится проверка выдвинутой гипотезы о соответствии эмпирического распределения выбранному теоретическому. Для проверки используются статистические критерии согласия. Если выдвинутая гипотеза подтверждается, то эмпирическое распределение заменяется теоретическим: если не подтверждается, то для аппроксимации эмпирической кривой подбирается теоретическая кривая другого закона распределения.
На завершающем этапе по построенной кривой плотности вероятности и ее числовым характеристикам оценивается точность исследуемой технологической операции.
2.2. Математическая обработка статистических результатов исследования точности технологических процессов
Погрешности обработки деталей, вызываемые различными производственно-технологическими факторами, являются величинами случайными, что обуславливает необходимость применения в анализе точности методов теории вероятностей и математической статистики.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять тo или иное значение [1]. Например, признак качества Х для партии деталей объемом n, изготовленной в одной технологической операции, есть величина случайная, так как каждая деталь будет характеризоваться своим значением признака качества 
Основной теоретической числовой характеристикой случайной величины является вероятность ее появления P, которая позволяет принимать любое значение от 0 до 1 включительно
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины
Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины. Для полного описания случайной величины необходимо точно определить, какой вероятностью обладает каждое из значений, т.е. установить закон распределения случайной величины.
Одной из форм закона распределения является функция распределения F(x) случайной величины x, которую иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения (рис. 1).
Рис. 1. График интегральной функции
распределения вероятности
С помощью графика можно определить вероятность того, что случайная величина x не превысит некоторого значения xi т.е.
Функция распределения характеризуется следующими свойствами: F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1, 
на минус бесконечности функция распределения равна нулю 
на плюс бесконечности функция распределения равна единице 
Другой формой закона распределения случайной величины является плотность распределения (плотность вероятности) f(x), которая представляет собой производную от функции распределения
f(x)=F’(x). (2.1)
Плотность вероятности характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.
Функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. Кривая, представленная на рис. 2, изображает плотность распределения случайной величины и называется кривой распределения.
Рис. 2. График плотности распределения
вероятности
Плотность вероятности характеризуется следующими свойствами:плотность вероятности есть неотрицательная функция 
т.е. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; интеграл в бесконечных пределах от плотности равен единице 
т.е. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
С помощью кривой распределения находится вероятность попадания случайной величины в заданные пределы. Например, вероятность попадания x на отрезок от 
до 
равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис.2, заштрихованная область), т.е.
Учитывая соотношение (2.1), вероятность попадания x в заданные пределыот до , определяется также разность величин функции распределения, взятых при значениях пределов, т.е.
 |
Из выражения (2.2) следует, что вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке (см. рис. 1).
Кроме законов распределения для описания случайных величин используются числовые параметры, позволяющие в сжатой форме выразить существенные особенности распределения.
В теории вероятности и математической статистике применяется большое количество различных числовых параметров. Рассмотрим лишь те из них, которые используются при исследовании точности технологических операций.
Наиболее важными числовыми параметрами распределения являются параметры, характеризующие положение кривой распределения на оси абсцисс, степень рассеяния значений случайной величины, степень асимметрии и крутости кривой распределения.
Из характеристик положения важнейшую роль играет математическое ожидание (среднее значение) случайной величины 
указывающее некоторое среднее ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее ее при грубо ориентировочных расчетах. Математическое ожидание определяется формулой вида
Характеристикой рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания является дисперсия S2, которая определяется следующей формулой:
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что в практике анализа не всегда удобно. Для наглядности характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной среднего квадратического отклонения S, получаемой извлечением корня из дисперсии и равной
Для закона нормального распределения изменение среднего квадратического отклонения приводит к изменению формы кривой. Так как для кривой распределения расположенная под ней площадь равна единице, то изменение среднеквадратического отклонения равносильно изменению масштаба кривой распределения - увеличению масштаба по одной оси и уменьшению по другой, так, как это показано на рис. 3.
Рис.3.Кривая нормального распределения при различных значениях среднего квадратического отклонения
Распределения случайной величины могут быть симметричными и асимметричными по отношению к математическому ожиданию. Например, асимметричность распределения признака качества обрабатываемых деталей вызывается систематическими ошибками (износ и деформация инструмента, температурные деформации и т.д.). Асимметрия находится из выражения
Степень крутости, т.е. островершинности или плосковершинности кривой распределения оценивается при помощи эксцесса E, который рассчитывается по формуле
В технологии приборостроения интерес представляет не просто степень крутости кривой распределения, а ее отклонение от степени крутости образцовой кривой распределения, в качестве которой выбирается кривая нормального распределения. Для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые более островершинные по сравнению с нормальной обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом. На рис. 4 представлены нормальное распределение (кривая 1), распределение с положительным эксцессом (кривая 2) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая 3).
2.3. Определение эмпирического закона распределения производственных погрешностей.
Определение эмпирической кривой плотности распределения вероятности производственных погрешностей исследуемой технологической операции производится с помощью больших и малых выборочных совокупностей (выборок). Выборка – совокупность элементов (деталей), которые выбираются из генеральной совокупности для получения достоверных сведений о всей совокупности. Число членов n, образующих выборку, составляет ее объем. Большой выборочной совокупностью считается выборка объемом n>20, а малой – n<20. От правильного определения объема выборки зависит объем исследований, сроки, в которые оно будет проведено, затраты, а также точность и достоверность результатов исследования.
Рис. 4. Кривые плотности распределения
вероятности с различными значениями эксцесса
Выборки по отношению ко времени их образования могут быть единовременными и мгновенными (текущими). Единовременной является выборка, которая отобрана из партии деталей после их изготовления. Для обеспечения представительности выборки все детали должны быть перемешаны между собой. Мгновенной является выбора, которая состоит из деталей, последовательно изготовленных за определенный промежуток времени на данном станке при данной настройке.
По мгновенной выборке объемом от 5 до 20 деталей, полученных в последовательности их обработки на одном станке, определяют влияние случайных факторов на качество изготовления деталей. По общей выборке, состоящей из 10 и более мгновенных выборок, взятых последовательно с одного станка за межнастроечный период или с момента установки нового инструмента до его замены, определяют раздельно влияние случайных и систематических факторов на качество изготовления деталей за межнастроечных период без учета погрешности настройки.
Совместное влияние случайных и систематических факторов, в том числе и погрешности настройки, на качество деталей, изготовленных на одном станке при одной или нескольких настройках, можно определить по большой единовременной выборке (объем от 50 до 200 деталей) случайно отобранных деталей.
Каждая деталь, входящая в выборку, измеряется с помощью универсально-измерительных приборов, цена деления измерительной шкалы которых должна удовлетворять условию [2]
где 
- допуск на размер деталей по чертежу, мм.
Результаты измерений деталей выборки в табл. П.1.
Для построения эмпирической кривой распределения все измеренные значения располагают в порядке возрастания или в порядке убывания и разбивают на ряд интервалов. От выбора числа интервалов зависит метод и объем вычислительных работ, а также степень наглядности опытных данных при построении графиков распределения. Рекомендуется [1] при объеме выборки 
определять число интервалов L по формуле
 |
L=1+3,322lgn, (2.6)
а при объеме выборки 
- по формуле
L=5lgn 
(2.7)
Числа интервалов, рассчитанных по формулам (2.6) и (2.7), приведены ниже
| n | 25-40 | 40-60 | 60-100 | 100-160 | 160-250 | 250-400 | 400-630 | 630-1000 | |
| L |
Ширина интервала H, т.е. разность между максимальными 
и минимальными xjmin значениями признака внутри j -го интервала 
определяется по формуле
Где xmax-xmin - размах выборки; xmax, xmin, - максимальное и минимальное значения признака в выборке.
Определив величину и положение интервалов, необходимо подсчитать частоты или частости для каждого из них. Частота mj – это количество деталей, входящих в выборку, измеряемый признак качества которых попал в j -й интервал. Частость 
– отношение числа деталей, признак качества которых попал в j -й интервал? К объему всей выборки. Частость представляет собой эмпирическую вероятность попадания признака качества в j -й интервал, т.е. 
(знаком “*” будем обозначать все эмпирические характеристики в отличие от теоретических). Сумма эмпирических вероятностей (частостей) всех интервалов очевидно должна быть равна единице
Полученные выше данные удобно представить в виде
табл. 1 и использовать для построения гистограммы, эмпирического закона распределения и расчета его основных характеристик (математического ожидания 
, дисперсии S2, среднего квадратического отклонения S).
Таблица 1
| Номер интер-вала | Интервал | Середина интервала | Частота mj | Частость
| Эмпирич. плотность распред. вероятн. 
|
| 1 | x1min…x2max | 
| m1 | 
| 
|
| … | … | … | … | … | … |
| J | xjmin…xjmax | 
| mj | 
| 
|
| … | … | … | … |
…
| … |
| L | xlmin…xlmax |
| ml
 
|
| 
|
Числовые характеристики определяются по формулам (2.3), (2.4), (2.5).
Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются интервалы и на каждом из них, как на основании, строятся прямоугольники, площади которых равны частостям соответствующих интервалов. Для построения гистограммы нужно частость каждого интервала разделить на его длину 
и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине интервалов высоты прямоугольников пропорциональны частостям. Высота j -го прямоугольника представляет собой значение эмпирической плотности распределения вероятности признака качества в j -м интервале, т.е. 
Для приведения к одинаковому масштабу кривых эмпирического и теоретического распределения при построении гистограммы необходимо пользоваться формулой 
где Hz - нормированная длина интервала, определяемая из выражения 
Гистограмма имеет вид, показанный на рис. 5. Площадь гистограммы равна 
Из способа построения гистограммы следует, что она является аналогом эмпирической плотности распределения. При увеличении объема выборки и уменьшении длины интервалов гистограмма будет все более приближаться к кривой плотности распределения. На практике эмпирическая кривая плотности распределения f*(x) проводится следующим образом. На верхней стороне каждого из построенных прямоугольников гистограммы отмечаются точками их середины. Соединяя получение точки кривой, получают график функции f*(x), представленный на рис. 5.
После построения эмпирического закона распределения и расчета его числовых параметров осуществляется подбор и построение теоретической кривой.
2.4. Определение теоретического закона распределения производственных погрешностей.
Подбор теоретической кривой, соответствующей полученной эмпирической кривой, называется выравниваем статистических рядов. Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоретическую кривую распределения, наиболее точно описывающую полученное эмпирическое распределение.
Подбор теоретической кривой осуществляется на основании математического анализа опытных данных выборочной совокупности или из предложений, что каждому теоретическому закону распределения соответствуют вполне определенные условия функционирования технологических операций. При этом графики эмпирических зависимостей сравниваются с образцами известных кривых. Для определения того, насколько правильно функция описывает опытное распределение, используются различные критерии согласия.
Рис. 5. Гистограмма (1), эмпирическая (2) и теоретическая (3) кривые плотности распределения вероятности
После выбора подходящей теоретической кривой производится ее построение. Рассмотрим построение теоретической кривой нормального закона распределения как наиболее характерного и распространенного при оценке точности технологических операций.
Теоретическая кривая плотности вероятности определяется выражением вида
Где S2, S - числовые значения параметров эмпирического распределения, найденные в предыдущем разделе.
Для облегчения расчетов по формуле (2.8) пронормируем распределение: перенесем начало координат x0 в центр группирования 
и выразим x в долях S.
Введя для нормированного аргумента обозначение Z, получим
где xj - значение признака качества в середине j-го интервала. При этом длина интервала
Определив по формуле (2.9) значения Zj для каждого интервала, найдем с помощью табл. П.2 (см. Приложение) соответствующие им значения плотностейf(Zj). Полученные данные заносятся в табл. 2 и используются для построения теоретической кривой плотности распределения вероятности.
Теоретическая кривая плотности распределения вероятности выполняется на одном графике с эмпирической кривой (рис. 5).
После построения теоретической кривой с помощью статистического критерия согласия проверяется гипотеза о соответствии этой кривой эмпирическому распределению.
Таблица 2
| Номер интервала | Середина интервала Zj | Значение теорети-ческой плотности f(Zj) |
| 1 | Z1 | f(Z1) |
| … | … | … |
| j | Zj | f(Zj) |
| … | … | … |
| L | Zl | f(Zl) |
2.5. Проверка гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределения с помощью критерия x2 (Пирсона).
Для объективной оценки степени соответствия выбранного теоретического распределения эмпирическому используются различные статистические критерии согласия. Сущность этих критериев сводится к тому, что выбирается некоторый количественный показатель 
меры расхождения между выбранным теоретическим распределением и эмпирическим, Если такая мера расхождения (т.е. критерий) для рассматриваемого случая 
превосходит допустимый предел 
то гипотеза отвергается; если 
то гипотеза принимается.
В качестве меры расхождения обычно берут определенным образом выбранную функцию от разности между теоретической и эмпирической плотностями вероятности f(x) и f*(x) либо разности между теоретической и эмпирической функцией распределения F(x) и F*(x).
Рассмотрим применение одного из наиболее употребительных в технологии критериев – критерия x2 (Пирсона).
Величина критерия x2 определяется по формуле
где Pj -теоретическая вероятность нахождения xi в j –м интервале.
Величина x2 характеризует меру расхождения между теоретическими Pj и эмпирическими Pj* вероятностями распределения случайной величины x в каждом j -м интервале. Следовательно, x2 есть также величина случайная.
Для расчета критерия x2 по формуле (2.10) необходимо вычислить значения теоретических вероятностей Pj для каждого j -го интервала, определяемые выражением вида
Pj=f(Zj)Hz.
Данные для расчета критерия x2 оформляются в виде табл. 3.
Таблица 3
| Номер интервала | Теоретическая вероятность Pj | Эмпирическая вероятность Pj* | 
|
| 1 | P1 | P1* | |
| … | … | … | |
| j | Pj | Pj* | 
|
| … | … | … | |
| L | Pl | Pl* |
При использовании критерия x2 количество частот mj в каждом j -м интервале должно быть не менее 5-ти. Если данное условие не выполняется, то необходимо объединить соседние интервалы. В результате этого число объединенных интервалов по сравнению с L уменьшается, и значения теоретических и эмпирических вероятностей для k -го объединенного интервала 
определяется суммой соответствующих вероятностей объединяемых интервалов. В процессе расчета x2 суммирование ведется по L0,т.е.
Определив по данным табл. 3 экспериментальное значение x2, необходимо сравнить его с теоретическимхт2, которое дано в табл. П. 3 (см. Приложение) в зависимости от числа степеней свободы r и равного
r=L-t-1,
где t - число параметров закона распределения (для нормального закона t=2).
По числу степеней свободы r в табл. П. 3 (см. Приложение) выбирается такое значение хт2, при котором выполняется условие 
и определяется вероятность выполнения этого условия, т.е. 
. 
Для принятия выдвинутой гипотезы о соответствии теоретического закона должно соблюдаться соотношение
Если P<0,1, то выдвинутая гипотеза отвергается и для имеющего эмпирического распределения подбирается другой теоретический закон.